Matematik

Skalarprodukt

08. juni 2015 af Mathnerdsx (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej studieportalen.

Jeg læser op og har tænkt over et par dage hvad prikproduktet egentlig er, jeg ved at vektor a*b = |a|*|b|*cos(v)..

Er der en der kan forklare prikproduktet på en anden måde end wikipedia?
Mvh Daniel

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. juni 2015 af mathon

Skalarproduktet i xy-planen af vektorerne $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}$ og $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}$
er
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$

Skalarproduktet i rummet af vektorerne $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \\a_3\end{pmatrix}$ og $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \\b_3\end{pmatrix}$
er
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$

Svar #2
08. juni 2015 af Mathnerdsx (Slettet)

#1
Skalarproduktet i xy-planen af vektorerne $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}$     og $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}$
er
                      $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$

Skalarproduktet i rummet af vektorerne $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \\a_3\end{pmatrix}$     og $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2 \\b_3\end{pmatrix}$
er
                      $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$

Også får man en størrelse ud af det. Det er jeg med på, men hvorfor kan vi bruge denne størrelse til at bestemme vinkler osv?

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. juni 2015 af mathon

Mellem to enhedsvektorer i planen

$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} \cos(u)\\ \sin(u) \end{pmatrix}$

gælder
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\cos(v)\cdot \cos(u)+\sin(v)\cdot \sin(u)=\cos(u-v)$

hvor vinklen u-v er vinklen mellem vektorerne $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$

er vektorerne $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$ egentlige ikke enhedsvektorer,
haves for enhedsvektorerne $\frac{\overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}$ og $\frac{\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |}$

$\frac{\overrightarrow{a}}{\left | \overrightarrow{a} \right |}\cdot \frac{\overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{b} \right |}=\cos(v)$ når er vinklen mellem vektorerne

og dermed

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left | \overrightarrow{b} \right |\cdot \cos(v)$

Skriv et svar til: Skalarprodukt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.