Matematik

Punktsandsynlighedsformlen

17. juni 2015 af annapetersennn (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hejsa. Håber der er nogen der kan hjælpe med et mundligt eksamensspørgsmål.

Det lyder således:

Eftervis med egne ord formlen for punktsandsynlighederne i binomialfordeling $P(X=x)=\binom{n}{x}\cdot p^{x}\cdot \left ( 1-p \right )^{n-x}$

Som jeg forstår det skal man fortælle hvad de forskellige led i formlen betyder. Håber I vil hjælp :-)

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. juni 2015 af Therk

Vi bruger tre terningekast som et eksempel at arbejde ud fra. Vi vil gerne finde sandsynligheden for at få nøjagtig en 6'er med de tre kast.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Hvad er p?

p er sandsynligheden for en succes. I vores tilfælde må det være 1/6 - en sjettedel af udfaldende er en sekser.

Hvad er ?

Det må være sandsynligheden for at få en succes og derefter få en succes mere! To succeser!

Hvad er så generelt ? Aha, men det må være sandsynligheden for at få x succeser!

Hvad er ? Well, hvis en sandsynlighed er et tal mellem 0 og 1, så må én minus p være komplementet til p - det er sandsynligheden for fiasko!

Hvad er så ? Analogt med ovenstående for er det så sandsynligheden for at få m fiaskoer!

$\rule{7cm}{0.4pt}$

I vores eksempel skal vi altså bruge 1 succes og 2 fiaskoer, hvis vi vil finde en 6'er med 3 kast - hov: (3-1) = 2. Så hvis n er det totale antal forsøg og x er antal succeser, så må n-x være det antal fiaskoer vi skal bruge!

Så vi har at sandsynligheden for at få netop én 6'er med 3 forsøg er

$\left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(1-\frac 16 \right )^{3-1} = \frac 16 \cdot \left( \frac 56\right )^2 \approx 11{,}6\%$

Men det er ikke helt rigtigt. Her har vi nemlig kun fundet sandsynligheden for at slå kombinationen

6XX

hvor X er alt andet end en 6'er. Hvad med de to andre muligheder?

X6X og XX6 ?

Svaret er binomialkoefficienten! Den tæller heldigvis smart for os antallet af mulige kombinationer! Og heldigvis passer det at

${3\choose 1 } = 3$

så sandsynligheden for at få netop 1 6'er med tre terningekast er

$3\cdot 11{,}6\% = 34{,}8\%$

$\rule{7cm}{0.4pt}$

I øvrigt: Kudos for at du kan finde ud af LaTeX-editoren. :)

Skriv et svar til: Punktsandsynlighedsformlen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.