Matematik

Diagonalmatrix

08. september 2015 af Heptan - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg ved at det er let at beregne determinanten for matricen

$\begin{pmatrix} 2 & 7&5 \\ 0&2 &3 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$

fordi det er en diagonalmatrix. 2³ = 8

Gælder det også hvis diagonalen vender den anden vej?

$\begin{pmatrix} 3 & 7&2 \\ 3&2 &0 \\ 2 &0 &0 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. september 2015 af peter lind

nej

Brugbart svar (1)

Svar #2
09. september 2015 af Keal (Slettet)

Det er ikke en diagonalmatrix men en øvre trekantsmatrix. En diagonalmatrix har lutter 0'er både under og over diagonalen.

For nedre og øvre trekantsmatricer

$L = \begin{bmatrix} \ell_{1,1} & & & 0\\ \ell_{2,1} & \ell_{2,2} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \ell_{n,1} & \ell_{n,2} & \cdots & \ell_{n,n} \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & \cdots & u_{1,n} \\ & u_{2,2} & \cdots & u_{2,n} \\ & & \ddots & \vdots \\ 0 & & & u_{n,n} \end{bmatrix}$

kan determinanten beregnes som produktet af diagonalelementerne.

En $n\times n$ matrix med lutter 0'er under anti-diagonalen (som i dit andet eksempel) kan laves om til en nedre trekantsmatrix ved at foretage $\lfloor n / 2 \rfloor$ rækkeombytninger. Dermed kan determinanten af en sådan matrix beregnes som produktet af diagonalelementerne ganget med (-1)^n .

Så for dit eksempel er

$\det \begin{bmatrix} 3 & 7 & 2\\ 3 & 2 & 0 \\2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = (-1)^3 \cdot 2^3 = -8$

Svar #3
09. september 2015 af Heptan

Hvad vil det sige at lave [n/2] rækkeombytninger? Laver man 3/2 rækkeombytninger i dette tilfælde?

Brugbart svar (1)

Svar #4
09. september 2015 af Keal (Slettet)

$\lfloor x \rfloor$ er det største heltal mindre end eller lig x. Matricen i dit eksempel kan omdannes til en nedre trekantsmatrix ved at foretage $\small \lfloor 3/2 \rfloor = 1$ rækkeombytning; nemlig ved at bytte om på række 1 og 3.

Bemærk, når man foretager en rækkeombyning i en matrix, skifter determinanten af matricen fortegn.

Skriv et svar til: Diagonalmatrix

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.