Matematik

Taylorpolynomium

28. oktober 2015 af AlmostDoneO - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Er der nogen der kan hælpe med følgende, jeg har ikke rigtig nogen ide om hvordan jeg starter:

Beregn det 3. ordens Taylorpolynomium, $\tilde{f_3}(t)$ _??? for funktionen $f(t)=e^{(t-2/2)}$ med udvikingspunkt 2. Det skal regnes i hånden.?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2015 af mathon

Når f er en (n+1) gange differentiabel med kontinuert (n+1)-te afledet i et interval omkring 0, gælder det for
$\forall x\in I,$ at der findes et tal $\theta$ i det lukkedede interval med endepunkter 0 og x, så

$f(x)=f(0)+\frac{x}{1!}f{\, }'(0)+\frac{x^2}{2!}f{\, }''(0)+\frac{x^3}{3!}f^{(3)}(0)+......+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\theta )$

$f(t)=f(0)+\frac{t}{1!}f{\, }'(0)+\frac{t^2}{2!}f{\, }''(0)+\frac{t^3}{3!}f^{(3)}(0)$

$\overset{\sim}{f}_3(2)=e^{-1}+e^{-1}+2\frac{e^{-1}}{4}+\frac{8}{6}\frac{e^{-1}}{8}$

$\overset{\sim}{f}_3(2)=2e^{-1}+\frac{1}{2}e^{-1}+\frac{1}{6}e^{-1}$

$\overset{\sim}{f}_3(2)=\left (2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} \right )e^{-1}$

$\overset{\sim}{f}_3(2)=\left (2+\frac{3}{6}+\frac{1}{6} \right )e^{-1}$

$\overset{\sim}{f}_3(2)=\frac{8}{3} e^{-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. oktober 2015 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Med udviklingspunktet 2 bliver det

P₃(t) = f(2) + f '(2)/1! * (t - 2) + f ''(2)/2! * (t - 2)² + f '''(2)/3! * (t - 2)³

f '(t) = e^{(t -2)/2}/2

f ''(t) = e^{(t - 2)/2}/4

f '''(t) = e^{(t - 2)/2}/8

Så vi får

P₃(t) = 1 + ½ * (t -2) + 1/8 * (t - 2)² + 1/48 * (t - 2)³

P₃(t) = 1 + ½t - 1 + 1/8 * (t² + 4 - 4t) + 1/48 * (t³ - 8 - 6t² + 12t)

P₃(t) = ½t + 1/8t² + ½ - ½t + 1/48t³ - 1/6 - 1/8t² + 1/4t

P₃(t) = 1/48t³ + 1/4t + 1/3

Tjek det lige grundigt efter for regnefejl

Skriv et svar til: Taylorpolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.