Matematik

Potensrække

04. november 2015 af Searchmath (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Hvordan kan man bestemme potensrækkens konvergensradius p?

Hvordan griber man generelt sådanne opgaver an?

Vedhæftet fil: potensrække.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. november 2015 af SådanDa

Jeg ville her bruge at for en potensrække

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ kan konvergensradiusen findes som:

$\rho=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$ .

Svar #2
04. november 2015 af Searchmath (Slettet)

Skal man altid bruge den Formel?:)

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. november 2015 af SådanDa

Den er i hvert fald god, jeg vil ikke udelukke, at den i visse tilfælde bliver for besværlig! :)

Svar #4
04. november 2015 af Searchmath (Slettet)

Hvad kunne man ellers bruge i andre tilfælde :)?

Svar #5
04. november 2015 af Searchmath (Slettet)

Jeg er i gang med del i) og har udregnet integralet til at være sum(2*((1/2)*x)^n, n = 0 .. infinity) men jeg kan ikke rigtig komme videre derfra, for ved ikke helt hvordan jeg skal tage summen. Jeg har prøvet at tage summen, men den svarer ikke til 2x/(2-x) men får 2/(1-0.5*x).

Vedhæftet fil:Udklip1.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. november 2015 af SådanDa

Jeg ved ikke helt hvad du vil. Er det

$\sum_{n=0}^{\infty}2\left(\frac{x}{2}\right)^n$ du vil finde? Du har vedhæftet en opgave om en differentialligning, men jeg kan ikke lige se sammenhængen?

Svar #7
04. november 2015 af Searchmath (Slettet)

Og hvad betyder en "endelig sum"

Svar #8
04. november 2015 af Searchmath (Slettet)

Undskyld det var en fejl, det var den her jeg mente :)

Vedhæftet fil:111.PNG

Svar #9
04. november 2015 af Searchmath (Slettet)

Jeg har prøvet at regne konvergensradius på række, men får 0.5*x?

Og når jeg regner konvergensradius for potensrækken får jeg x?

Vedhæftet fil:.......PNG

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. november 2015 af SådanDa

Ja, når du bruger sætningen jeg henviste til før skal du ikke have dit x med, kun a_n-delen. her har vi:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n-1}}x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^n}x^n$ , det kan du overbevise dig selv om ved at skrive de første led op. Så kan vi identificere a_n-leddet som.

$a_n=\frac{n+1}{2^n}$ , og man finder konvergensradiusen som:

$\rho=\lim_{n\to \infty}\frac{\big| \frac{n+1}{2^n}\big|}{\big|\frac{n+2}{2^{n+1}}\big|}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)2^{n+1}}{(n+2)2^n}=\lim_{n\to\infty}2\frac{(n+1)}{(n+2)}=2$ , da (n+1)/(n+2) går mod 1 for n mod uendeligt. Derfor er 2 konvergensradius! :)

Brugbart svar (0)

Svar #11
04. november 2015 af SådanDa

For at regne integralet skriver man:

$\int_{0}^x\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^{n-1}}t^{n-1}\textup{d}t=\sum_{n=1}^\infty\int_{0}^x\frac{n}{2^{n-1}}t^{n-1}\textup{d}t$ , det integral fandt du vist selv? $\int_{0}^x\frac{n}{2^{n-1}}t^{n-1}\textup{d}t= 2^{1-n}x^n=2\cdot2^{-n}x^n=2\left(\frac{x}{2}\right)^n$ .

Så vi skal løse

$\sum_{n=1}^\infty 2\left(\frac{x}{2}\right)^n$ , hvis vi lader x/2=y ses at udtrykket er en geometrisk række, vi kender summen af en geometrisk række som:

$\sum_{n=0}^\infty ax^n=\frac{a}{1-x}$ , så altså:

$\sum_{n=1}^\infty 2\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=1}^\infty 2y^n$ $\sum_{n=1}^\infty 2\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=1}^\infty 2y^n=\frac{2}{1-y}-2y^0=\frac{2-2(1-y)}{1-y}=\frac{2y}{1-y}$ , sæt så x ind igen:

$\frac{2y}{1-y}=\frac{2\cdot\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}=\frac{x}{\frac{2-x}{2}}=\frac{2x}{2-x}$ .

Svar #12
04. november 2015 af Searchmath (Slettet)

Men er det ikke omvendt man skal løse |an+1|/ |an| ? :)

Brugbart svar (0)

Svar #13
04. november 2015 af SådanDa

Nej, det vil jeg ikke mene, jeg bruger den sætning jeg har skrevet i #1, men du har ret i at man kan tjekke om en række er (absolut) konvergent ved at afgøre om q=|a_n₊₁|/|a_n|<1 hvor a_n er hele følgen, det er egentlig det du gør i #9, og der får du jo også at q<1 for x<2! :)

Svar #14
05. november 2015 af Searchmath (Slettet)

#13
Du er virkelig god! Tak skal du have!

Jeg har et generelt spørgsmål :-) når man skal afgøre om en række er konvergent eller divergent kan man se på mange forskellige sætninger bl.a. Leibniz kriterium som består af 3 punkter, men forstår ikke helt hvordan man kan tjekke en række efter disse punkter, kan du hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. november 2015 af SådanDa

Jo tak :)
Leibniz kriterium siger mig ikke lige umiddelbart noget? En hurtig googlesøgning hinter til at det er det kriterie som sig at en altanerende række

$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^na_n$ , med a_n aftagende er konvergent <=> a_n→0 n→∞. Men jeg er ikke lige sikker på hvilke 3 punkter du mener? :)

Skriv et svar til: Potensrække

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.