Matematik

parameterkurve hjemmeopgave

12. november 2015 af 1256m (Slettet) - Niveau: A-niveau

i et koordinatsystem i planen bevæger et punkt P(x,y) sig således, at der til tidspunktet t gælder:

x = t² - 2

y= t - t³ , t € R

a) bestem koordinatsættet til hvert af de punkter, hvori banekurven skærer en koordinatsystemtes akser.

b) kurven har et dobbeltpunkt Q, dvs.et punkt svarende til to forskellige parameterværdier. Bestem dette.

c) gør rede for, at banekurvens to tangenter i Q er ortogonale

d) Bestem koordinatsættet til hvert af de punkter, hvori banekurven har en tangent, der er parallel med vektoren v(-1:1).

e) bestem en ligning for hver af de to tangenter i punkt d.

opgave 6,18

en basketballspiller skyder bolden mod kurven, boldenscentrum bevæger sig langs banekurven givetved vektorfunktionen:

r(t)=(4t : -4,91t²+ 6t+1,6)

positionen måles, tiden i sekunder

a)bestem koordinaterne til boldens centrum til tiden t=0,3

b)bestem hvor højt boldens centrum kommer op

ringen i basketbalkurven er cirkulær, med centrum i P(3, 56,3,05)

c) Bestem boldens fart, når den passer punktet P

hej, ved godt det meget jeg spørger om, men jeg har virkelig meget brug for hjælp, vi er lige begyndt med opgaven parameterkurv, og jeg har svært ved at forstå det. og har virkelig brug for hjælp med at få resultaterne på de her opgave :( håber nogen vil hjælpe :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. november 2015 af mathon

$P(x,y)=\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} t^2-2\\ t-t^3 \end{pmatrix}\; \; \; \; \; t\in\mathbb{R}$

Skæring med x-aksen kræver y=t-t^3=0

t(1-t^2)=t(1+t)(1-t)=0

$t=\left\{\begin{matrix} -1\\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right.$

dvs punkterne:
(-2,0) (-1,0)

Skæring med y-aksen kræver x=t^2-2=0
$(t+\sqrt{2})(t-\sqrt{2})=0$

$t=\left\{\begin{matrix} -\sqrt{2}\\ \sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. november 2015 af mathon

dvs punkterne:
$(0\; ;-\sqrt{2}+\sqrt{2})$ $(0\; ;\sqrt{2}-2\sqrt{2})$

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. november 2015 af mathon

b)
       dobbeltpunkt er for førstekoordinatens vedkommende
       mulig for
                           t_1=-t
       hvilket for andenkordinaten
       betyder:
                           -t-(-t)^3=t-t^3

-t+t^3=t-t^3

2t^3-2t=0

                            2t(t+1)(t-1)=0
hvoraf:
                             $t=\begin{Bmatrix} -1\\0 \\ 1 \end{matrix}$
som dog kun giver dobbeltpunkt Q(-1,0) for $t=\left\{\begin{matrix} -1\\1 \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. november 2015 af mathon

c)
                $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP} }{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} 2t\\1-3t^2 \end{pmatrix}$
hvoraf retningsvektorerne for de to tangeter i Q
er
       for t = -1
                         $\overrightarrow{r_{1}}=\begin{pmatrix} -2\\-2 \end{pmatrix}$

       for t = 1
                         $\overrightarrow{r_{2}}=\begin{pmatrix} 2\\-2 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. november 2015 af mathon

da
                        $\overrightarrow{r_1}\cdot \overrightarrow{r_2}=\begin{pmatrix} -2\\-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\-2 \end{pmatrix}=-2\cdot 2+(-2)\cdot (-2)=-4+4=0$
er
                        $\overrightarrow{r_1}\; \bot\; \overrightarrow{r_2}$

og dermed er tangenterne i ortogonale.

Svar #6
12. november 2015 af 1256m (Slettet)

Tak ??

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. november 2015 af mathon

d)
Parallel med $\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}$ betyder på formen   $k\cdot \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -k\\k \end{pmatrix}$
hvoraf:
                            $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP} }{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} 2t\\1-3t^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -k\\k \end{pmatrix}$
dvs
                             2t=-k
                         1-3t^2=k
addition
giver:
                         -3t^2+2t+1=0

$t=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{3}\\ 1 \end{matrix}\right.$
dvs i punkterne
$D\left ( -\tfrac{17}{9};-\tfrac{8}{27} \right )$ og $Q\left ( -1;0 \right )$

Svar #8
12. november 2015 af 1256m (Slettet)

Virkelig tak skal du have...det et stort hjælp ????

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. november 2015 af mathon

e)
      tangenten i for t=1
                                                  har retningsvektor                $\overrightarrow{r_2}=\begin{pmatrix} 2\\-2 \end{pmatrix}$
                                                 og dermed normalvektor
                                                                                               $\overrightarrow{n_2}=\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}$
og er den rette linje gennem (-1;0) med normalvektor n_2.

Dens ligning er derfor
$2x+2y-(2\cdot (-1)+2\cdot 0)=0$

2x+2y+2=0

y=-x-1

tangenten i for $t=-\frac{1}{3}$

                                                 har samme normalvektor
                                                                                               $\overrightarrow{n_2}=\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}$
og er den rette linje gennem $(-\tfrac{17}{9};-\tfrac{8}{27})$ med normalvektor n_2.

Dens ligning er derfor
$2x+2y-(2\cdot (-\tfrac{17}{9})+2\cdot \left ( -\tfrac{8}{27} \right ))=0$

$2x+2y+\tfrac{118}{27}=0$

$y=-x-\tfrac{59}{27}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. november 2015 af mathon

…med centrum i P(3, 56,3,05)???

Svar #11
12. november 2015 af 1256m (Slettet)

at cirklen i basketballkurven, har et centrum i P(3, 56,3,05)

Svar #12
12. november 2015 af 1256m (Slettet)

det bare en cirkels centrum

Brugbart svar (0)

Svar #13
13. november 2015 af mathon

…det var din ikke éntydige måde at anvende adskillelsestegn og kommategn på!

Brugbart svar (0)

Svar #14
13. november 2015 af mathon

opgave 6.18
$\overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4t\\ -4{,}91t^2+6t+1{,}6 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} v_{x}\\v_{y(t)} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 6-9{,}82t \end{pmatrix}$

Svar #15
13. november 2015 af 1256m (Slettet)

ja...har lidt svært at skrive det ind på studieportalen, synes den er besværlig :/...men tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: parameterkurve hjemmeopgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.