Matematik

konvergensradius for en potensrække

14. november 2015 af Linda95 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har problemer med at beregne konvergensradius for en potensrække. Jeg har gjort brug af kvotientkriteriet, og regnet på maple, hvor jeg skulle få et udtryk for konvergensradiussen, men får ikke et resultat ud.

Håber der er nogen der kan hjælpe.

Opgaveformuleringen er vedhæftet som et billede.

På forhånd tak.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2015-11-14 kl. 10.53.55.png

Svar #1
14. november 2015 af Linda95 (Slettet)

Mine beregninger på maple.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2015-11-14 kl. 11.05.30.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. november 2015 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. november 2015 af peter lind

Jeg kender ikke maple og dermed ikke den sidste kommando. Den forrige angiver at grænseværdien for kvotienten er 0 og så er konvergensradius uendelig eller sagt med andre ord. Rækken konvergerer for alle x

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. november 2015 af Therk

Lad

$a_n = \frac{2n+2}{(2n+1)!} (-1)^n$

Så kan din sum skrives som

$\sum_ {n = 0} ^\infty a_n (x-a)^{2n+1}$

for a = 0.

Vi ved nu at et af de tre følgende holder:

(1) Potensrækken konvergerer for alle x

(2) Potensrækken konvergerer for x = a (x = 0)

(3) Der findes et tal r så potensrækken konvergerer absolut for alle x, der overholder at
$\vert x-a\vert < r \Rightarrow \vert x - 0 \vert < r$

Fx brug forholdstesten, som du har gjort. Det fungerer bare ikke for dig at du blot smider det ind i Maple, fordi du forstår jo ikke hvad der sker! Vær nu rar ved dig selv og regn det i hånden. Så kan du se at

$\lim_{n = \infty} \frac{a_ {n+1} x^{2(n+1)+1}}{a_n x^{2n+1}} = \lim_{n = \infty} \frac {-1}2 x^2 \frac{(n+2)}{(n+1)^2(2n+3)} = 0$

Det er mindre end 1 for alle x, så konvergensradiussen er alle reelle tal.

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. november 2015 af Therk

rho := solve(0 = 1,x);

Løs for x, 0 = 1? Det giver ingen mening og det er Maple heldigvis enig i.

Jeg forstår i øvrigt ikke nødvendigheden i at lave et indlæg kun med den vedhæftede fil. Smid den op i et nyt vindue eller fane?

Svar #6
14. november 2015 af Linda95 (Slettet)

Mange tak for svaret!

#5 hvordan kan jeg smide mine resultater op i et nyt vindue så jeg ikke skriver dem i et indlæg?

#4 Du har ret i jeg skal forstå udtrykket i hånden. Men jeg har svært ved at komme frem til det som du er kommet frem til.

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. november 2015 af Therk

Min kommentar i #5 var egentlig møntet på #2 - det du havde gjort i #1 var da helt perfekt! :)

Øvelse gør mester! Jeg kan evt. uddybe med skridtene, hvis du ønsker det.

Svar #8
15. november 2015 af Linda95 (Slettet)

Jo tak du må meget gerne hjælpe! Og gerne med nogen forklaringer så jeg kan selv komme frem til resultatet når jeg har forstået opgaven. Tusind tak! Vil så gerne lærer det for det er ikke så svært når man har forstået det:)

Brugbart svar (0)

Svar #9
18. november 2015 af Therk

Så vi blev (forhåbentligt) enige om at ved forholdstesten skulle vi finde forholdet:

$\frac{a_ {n+1} x^{2(n+1)+1}}{a_n x^{2n+1}} \qquad \color{red}(1)$

for $n\rightarrow \infty$ .

Det er det, du i Maple bare kaldte .

Jeg har defineret a_n som den del af udtrykket, der er konstant i x, fordi det nu engang er den notation jeg er mest kendt med. Hvilken bog bruger du? Evt. upload et billede af sætningen for forholdstesten, hvis det her forvirrer dig alt for meget.

Læg først mærke til, i ovenstående, at

$\frac{x^{2(n+1)+1}}{x^{2n+1}} = \frac{x^{2n+1 +2} }{x^{2n+1}} = x^2$

Så vi kan allerede reducere det vi skal finde til

$\frac{a_ {n+1} x^{2(n+1)+1}}{a_n x^{2n+1}} = \frac{a_{n+1}}{a_n} x^2$

Så mangler vi bare det resterende forhold. Skriv det ud:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2(n+1)+2}{(2(n+1)+1)!} (-1)^{n+1}}{\frac{2n+2}{(2n+1)!} \left(-1\right)^n}$

Det er godt nok grimt til at starte med, men hvis vi bruger almindelige brøkregneregler, kan vi gange "nævneren i nævneren" på i stedet for at dividere med den - her snakker jeg om (2n+1)!. Flyt fakultetsudtrykkene på egen brøkstreg og (-1)-udtrykkene.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \underbrace{ \frac{2(n+1)+2}{2n+2}}_{(i)} \cdot \underbrace{\frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n} }_{(ii)} \cdot \underbrace{\frac{(2n+1)!}{(2(n+1)+1)!}}_{(iii)}$

Nu skal vi reducere (i), (ii) og (iii) og gange dem sammen for at være færdige.

(ii) reduceres til

$(ii) = \frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^n} = \color{red} (-1)$

(i) Gang ud og reducer:

$(i) = \frac{2n+2+2}{2n+2} = \frac{2n+4}{2n+2} = \frac{2(n+2)}{2(n+1)} =\color{red} \frac{n+2}{n+1}$

(iii) For at reducere sådan et fakultetsudtryk skal vi bemærke at næsten alle termer er ens og går dermed ud med hinanden. Det eneste, der efterlades er det de ikke har tilfældes:

$(iii) = \frac{(2n+1)!}{(2(n+1)+1)!} = \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!} = \color{red}\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}$

Sæt de tre røde udtryk sammen og sæt dem sammen med x². Hvis du ganger med brøken

$\frac{1/n}{1/n}$

Så bliver det

$\frac {-1}2 x^2 \frac{n+2}{(n+1)^2(2n+3)}\cdot \frac{1/n}{1/n} = \color{red}\frac {-1}2 x^2\frac{1+2/n}{(n+1)^2(2+3/n)}$

Hvis du lader nu n gå mod uendelig bør du kunne se at den bagerste tæller går mod 1, mens nævneren går mod uendelig. Brøken med n'erne går altså mod nul og det hele går mod nul. Det er dermed vist at konvergensradiussen er hele den reelle akse: Det er ligegyldigt hvad x er - forholdet er altid nul i grænsen.

Brugbart svar (0)

Svar #10
18. november 2015 af Therk

Jeg vil stærkt anbefale dig ikke kun at læse, men skrive hver ligning ned i hånden. Sådan er det nu engang nemmere at forstå hvad der står.

Brugbart svar (0)

Svar #11
18. november 2015 af peter lind

#9 Du skal slet ikke blande x ind i beregningen af de forhold.

Det korrekte er at beregne |a_n+1|/|a_n|

Brugbart svar (0)

Svar #12
18. november 2015 af Therk

#11
#9 Du skal slet ikke blande x ind i beregningen af de forhold.

Det korrekte er at beregne |a_n+1|/|a_n|

Det må nødvendigvis være generelt usandt. Følgen

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(x+3)^n}{n^22^n}$

konvergerer for

$\left\lvert \frac{x+3}{2}\right\rvert< 1$

Fundet ved at reducere vha. forholdstesten

$\left\lvert\dfrac{\dfrac{(x+3)^n}{n^22^n}}{\dfrac{(x+3)^{n+1}}{(n+1)^22^{n+1}}}\right\rvert$

og lade n gå mod uendelig. Vi kan ikke udelade x i dette tilfælde - kun fordi forholdet i vores tilfælde i #9 af a_n går mod nul kan vi glemme x'erne, men det er stadig værd at notere hvorfor. Ovenstående eksempel er kopieret fra eksempel 12.6.3 i Tom Lindstrøm.

Brugbart svar (0)

Svar #13
18. november 2015 af peter lind

Konvergensradius drejer sig om summer af formen ∑a_n*xⁿ Der findes et tal r evt. uendelig for hvilket det gælder at denne række er konvergent for |x| < r. Dette tal kaldes konvergensradius. For |x| = r kan man komme ud for at rækken er konvergent for alle x, for nogle x eller slet ingen. For |x|>r er rækken divergent. Man kan vise at r er grænseværdien af |a_n+1/a_n| så det er den grænseværdi man skal undersøge.

Hvis du medtager x får du bare |x*a_n+1/a_n|

Hvis du i dit eksempel kalder (x+3) = u får du rækken uⁿ/(n²*2ⁿ) altså a_n = 1/(n²2ⁿ) Du får heraf

aⁿ⁺¹/a_n = n²*2ⁿ/( (n+1)²*2ⁿ⁺¹) = ½*n²/n+1)² -> ½ for n -> ∞ så rækken er konvergent for |u| = |(x+3)| <½

Brugbart svar (0)

Svar #14
18. november 2015 af peter lind

Rettelse til #13 |a_n+1/a_n| → 1/r for n→∞ og konvergensradius i eksemplet er derfor 2

Sætningen kan bevises ved sammenligning med kvotientrækken

Svar #15
18. november 2015 af Linda95 (Slettet)

Tak for hjælpen Peter Lind og Therk. Jeg undskylder, men føler mig lidt forvirret pga. jeres uenighed. Men prøver lige :) Er vi enige om jeg kan bruge denne sætning, som vedhæftet?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2015-11-18 kl. 21.29.47.png

Brugbart svar (0)

Svar #16
18. november 2015 af peter lind

Har du vedhæftet den rigtige fil ?

Filen viser Taylorrækken for 3 funktioner, og de er alle korrekte

Skriv et svar til: konvergensradius for en potensrække

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.