Matematik

Uendelig række/konvergens

11. januar 2016 af Dudi22 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Vedhæftede fil er gældende (altså at den uendelige række er kongvergent med sum = 1/4), men hvorfor gælder det? Jeg har svært ved at se det.

Vedhæftet fil: mat22.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. januar 2016 af SådanDa

Hej. Hvis man omskriverudtrykket lidt:

$\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)= \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$

Her er summen blot rykket ind på hvert led. Bemærk så at:

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n+1)}$ , så derfor fås:

$\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)= \frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}-\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n+1)}\right)$ ,

Alle leddene i de to summer er jo nu ens, så kun n=1 bliver tilbage:

$\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}-\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n(n+1)}\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .

Svar #2
11. januar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Hey (og tak for svar).

Jeg beklager, at jeg ikke kan skrive tegnene ordentligt (hvilket program bruger du til det?), men hvordan kom du frem til ligningen i tredie linie (altså lige efter "bemærk så at")? Er det "blot" noget man ser, fordi man ved det på rygraden?

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. januar 2016 af SådanDa

Jeg bruger LaTeX-editoren du får frem ved at trykke på f_x-knappen lige over skriveboksen :)

Tjaa, altså det er jo noget man lige skal indse, men det gælder generelt.

Altså forestil dig en endelig sum:

$\sum_{n=1}^3 n+1 =2+3+4=9$ , så kan du i stedet for at lægge 1 til hver gang blot starte 1 højere, altså:

$\sum_{n=2}^4 n =2+3+4=9$ .

Så vi kan altså ligesom trække 1 fra n ved at starte med at tælle 1 højere.

Det kan selvfølgelig redegøres for mere teknisk, men synes det forklarer tankegangen meget fint?

Svar #4
11. januar 2016 af Dudi22 (Slettet)

Jeg forstår det godt i dit valgte eksempelt, nok fordi det er mere simpelt. Må bare have kigget på endnu flere eksempler med rækker. Poster et par opgavere mere, hvor jeg er gået i stå.

Tak :)

Skriv et svar til: Uendelig række/konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.