Normalfordelingen

Du kan enten benytte resultatet: Summen af normalfordelte stokastiske variable er igen normalfordelt, hvor parametrene er summen af hver fordeling.

Dvs.

Hvis du skal vise det resultat, så ville det nemmeste nok være at se på den momentgenererende funktion (eller tilsvarende, den karakteristiske funktion).

Opgave 2 følger direkte af ovenstående.

N(0, 1) betyder at X'erne er normalfordelt med middelværdi 0 og variansen 1.

I begge opgaver skal du bruge at en sum af uafhængige normalfordelete stokastiske variable er en stokastisk variabel med middelværdi = summen af middelværdierne og varians = sum af varianser. Udtrykt matematisk

X_i = N(m_i, s_i²) så gælder

Y = X₁+X₂ + X₃+... X_n er en ny stokastisk normalfordelt variabel med middelværdier

m = m₁+m₂+m₃+  .... m_n

s² = s₁²+s₂²+s₃² +^....s_n²

Hej, og tak for jeres svar.

Vil det så sige, at når man skal angive fordelingen for X1 + X2 - X3 så bliver det:

X1 + X2 - X3 ~ N(μ₁ + μ₂ - μ₃, σ₁² + σ₂² - σ₃²)

Eller?

ja; men du bør beregne middelværdien og variansen af den resulterende fordeling

Middelværdien man får oplyst er jo 0 og variansen man får oplyst er 1.

Er det så blot N(0 + 0 - 0, 1 + 1 - 1) eller misforstår jeg dig?

Dvs.:

X1 + X2 - X3 ~ N(μ1 + μ2 - μ3, σ₁² + σ₂² - σ₃²) = N(0, 1)

Eller?

Ja det gør du. Jeg overså at du i #3 skrev -μ₃ og -σ₃².  Det skal være + som det også fremgår af #2 of #3. Det bliver altså N(0+0+0, 1+1+1) = N(0, 3)

Jeg undrede mig bare over, hvorfor det skal være 0+0+0 og 1+1+1, når opgaven jo siger X₁ + X₂ - X₃.

Hvorfor skal det ikke være minus, når der står X₂ - X₃? 

Men mange tak i hvert fald.

Når du har en normaltfordelt stokastisk variabel, så skal en konstant ganges på i anden på variansen, altså således at for X~N(µ,σ) gælder at aX~N(aµ,a²σ), således har du altså at X₂-X₃=X₂+(-1)X₃~N(0-0,1+(-1)²)  =N(0,2).

Lige et eksempel som kan klargøre det.

Lad os antage at svenskers og danskers højde er normalfordelt med samme middelværdi m og samme varians s².  Kald den stokastiske variabel for dansker X1 og  den stokastiske variabel for svenskere for X2. -X2 er så en normalfordeling med middelværdi -m og varians s². Y = X1-X2 er så en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi m + (-m) = 0 og varians s²+s² = 2s². Hvis du skulle trække varianserne fra hinanden vil du få variansen 0. Det betyder at hver gang du valgte en dansker og svensker vil du få at de har nøjagtig samme højde, hvilket er absurd

Tusind tak skal I have, jeg forstår det bedre nu :)

Jeg prøver at kigge på opgave 2 nu.

Med hensyn til opgave 2:

X-bar er lig med 1/n multipliceret med X_i'erne lagt sammen.

Dvs. at f.eks. hvis n = 3 (X₁, X₂, X₃) og disse hver især har middelværdi 1 og varians 2, så er X-bar = 1/n * (1 + 1 + 1, 2 + 2 + 2) = 1/n * (3, 6) = (1, 2).

På den måde har fordelingen for X-bar en middelværdi på µ (altså 1 mht. mit eksempel) men hvorfor bliver variansen σ² / n og ikke bare σ²? Hvis det er σ² / n bliver variansen jo mindre end 2 i dette eksempel.

Noget jeg har misforstået?

Når du ganger din stokastiske variabel med 1/n skal middelværdien ganske rigtigt ganges med 1/n, men variansen skal ganges med (1/n)², så i dit eksempel bliver det fordelt som N(1,2/3).

Altså generelt har du at 1/n*(X₁+...+X_n)~N(1/n*(µ+...+µ),(1/n)²*(σ²+...+σ²))=N(1/n*nµ,1/n²*nσ²)=N(µ,σ²/n). Hvis du ikke forstår hvor jeg vil hen må du lige skrive igen :)

Altså jeg kan godt se, at det stemmer, når variansen ganges med (1/n)²

Men jeg har en lille smule svært ved at se, hvorfor det ikke skal ganges med 1/n ligesom middelværdien, når der nu står X-bar = 1/n * summen af X_i'erne :)

Det gælder helt generelt at for en normalfordelt stokastik variabel X~N(µ,σ²) er aX~N(aµ,a²σ²) hvor a er en konstant. Man kan vise at det hænger sådan sammen, men jeg tror ikke at det er meningen med denne opgave. Så derfor skal man gange (1/n)² på variansen.

Ah, derfor så. Jeg siger i hvert fald mange tak :)

Mht. den sidste i opgave 2 som der skal gøres rede for, hvilke regler gælder der så, når man trækker µ fra X-bar samt dividerer det med kvadratroden af σ² / n?

Når du trækker en konstant fra (eller lægger en konstant til) en normaltfordelt stokastisk variabel flytter du jo nærmest fordelingen, altså således at den fordeler sig om en anden middelværdi. Altså gælder der at X+a~N(µ+a,σ²) (eller X-a~N(µ-a,σ²)), hvor a er konstant. (Du kan også se en konstant a som en stokastisk variabel hvor a~N(a,0), så følger det på samme måde som tidligere).

Med hensyn til at dividere med √(σ²/n), så er dette jo det samme som at gange med 1/√(σ²/n), hvilken er en konstant, så her kan du bruge reglen fra #16 :)