Algebra

Den anden. 

I en polynomiumsbrøk p(x)/q(x) kan q(x) altid skrives som q₁(x)*q₂(x)*..q_n(x) hvor q_i(x) enten er et 1. grads polynomium eller et 2. grads polynomium uden rødder. Opspaltningen sker ved at finde polynomiets rødder. I opgave 1 er opspaltningen sket. den 2. opgave kan man se at nævneren kan skrives (s+2)². Hvis der ikke er dobbeltrødder kan p(x) skrive som en sum af u_i(x)/q_i(x) hvor u_i er en konstant (eller 0. grads polynomium) for qi en lineær funktion og en lineær funktion hvis qi(x) er et 2. grads polynomium.

I den sidste brøk er q₁(s) = s og q₂(s) = s²+6s+25, brøken kan så skrives A/s +(Bs+C)/(s²+6s+25) =p(s)/q(s) Ganger du den ligning med q(s) får du en polynomiumsligning hvor kvotienten til xi skal være den samme på venstre side og højre side. Du finder en nem ligning ved at vælge at sætte s til en rod (her 0)

Hvis du har en lineær funktion i 2. potens kan du også få en brøk med den lineære funktion i 2. potens, som det sker i den anden opgave

# Hvordan har de så regnet sig fremt til hhv. A, B og C? 

.

For at tage den første opgave

Du har p(s)/q(s) = A/q1(s)+(Bs+C)/q2(s med p(s) = 25s+50, q1(s) = s, q2(s) = s²+6s+25 og q(s) = q1(s)*q2(s)

Ganger du det med q(s) får du

p(s) = A*q2(s) + (Bs+C)*q1(s)

Læg mærke til at hvis du indsætter roden i q1(s) forsvinder det sidste led. Hvis du indsætter en rod i q2(s) forsvinder det første led. Roden i q1(s) er 0 som indsat giver

p(0) = A*q2(0) <=> 50= A*25   <=> A= 2

Du kan godt indsætte en rod i q2; men lige her synes jeg det er nemmere at indsætte nogle pæne værdier for s og her vælger jeg 1 og -1. Det giver:

p(1) = 2*q2(1)+B+C

p(-1) = 2*q2(-1) -(-A+B)

som er 2 nemme lineære ligninger med 2 ubekendte.

Alternativt kan du gange parenteserne ud i 5'te linje og kræve at polynomierne på hver side af lighedstegnet er identisk. Dette er lidt mere besværligt især med større opgaver