Forkorte brøker

x² over x giver x¹, heraf en ret linje.

#1 : Nej. Så simpelt er det ikke. :-)

Det var lige dèt, jeg ville have sagt!  :)

Det som I skriver er ret trivielt. Prøv nu at plotte grafen for 

          og             for        x ≠ -√5

De vil opføre sig vildt forskelligt i omegnen x ≠ -√5. Grafen for f(x) vil efterligne opførslen af 1/x for x omkring 0 mens g(x) ikke er defineret i -√5.

Jeg får nu begge grafer til at være meget ens. Faktisk helt ens. 

Det er forkert. Din graftegner foretager selv den udregning (det er pointen i sidste ende), som #1 og #3 har vist. Prøv at bruge en tilnærmet værdi af √5 ≈ 2.236067977

Jeg kan ikke se nogen forskel, men det kan være, dine øjne er bedre end mine. 

Mener du sådan?

Det giver udmiddelbart det samme, nu er det bare den negativt tilnærmede værdi, der er udelukket fra definitionsmængden.

Det er lidt basic matematik. Prøv at lade x → ∞ og x → -∞

Jeg er ikke helt med på, hvad du mener der i vejen med de to grafer, jeg har vedhæftet?

Jeg er ikke den bedste til de her graf programmer. 

#5 Tæt ved x = -kvrod(5) kan du ikke stole på hvad en CAS værktøj, lommeregner eller lignende leverer. Det skyldes afrundningsfejl

Jeg er med på, hvad du mener med, at funktionen burde opføre sig asymptotisk når 

Det er også lidt et mysterium for mig.

Der sker ikke noget ekstremt nogen steder i din funktions definitionsmængde. Vores første indskydelse er normalt at se på funktionens afledte, hvis vi er interesserede i dens opførsel. Bemærk da at

(forlæng den første brøk med sin nævner og reducer).

Du kan nu enten faktorisere tælleren eller forlænge nævneren. Uanset hvad, fremgår det nu at differentialkvotienten for funktionen er 1 for alle x.

Det stemmer naturligvis også overens med at grænseværdierne for funktionens afledte fra begge sider giver 1, modsat hvad din intuition fortæller dig. Hvis du har haft undervisning om grænseværdier, ved du muligvis at det tit kan hjælpe at omskrive udtrykket:

(vi bekymrer os ikke om division med 0, da ovenstående kun er interessant i den konfliktende grænseværdi. Nu kan vi lade x gå mod √5:

Da grænseværdierne er ens fra begge sider er det normalt at definere funktionens værdi i punktet til grænseværdien.

Slutteligt: Har du prøvet at plotte funktionen? Det burde gøre dig mistænkelig for hvad din intuition fortæller dig med "ekstrem opførsel".

Det ser da ikke så ekstremt ud.

Jeg har fundet ud af det nu. 

Lige præcis, Therk. Jeg tog grænseværdien forkert og nej, jeg har ikke har haft undervisning i det endnu. 

Fantastisk spørgsmål, forresten. Jeg kan se at indlægget har været godt igang, mens jeg prøvede at formulere et svar. Fortsæt endelig med samme nysgerrighed!