Matematik

Invertibel matrix

18. oktober 2016 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude. Jeg har en opgave, der er svært til mig.
Vil nogen derude hjælpe med opgaven. Det vil være stort hjælp hvis I kan guide mig.
Opgaven:
Skal bevise, hvis

$\inf_{\lambda \in \mathfb{R}}|| I-\lambda \ A|| < 1,$ så vil matrix A være invertibelt.

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. oktober 2016 af Therk

For at uligheden kan være sand, så må . Antag nu at dit lambda er det, der netop får uligheden til at være sand (dvs. glem for nu infimum-notationen). Med

$\left \| I-\lambda A \right \| < 1$

hvad kan du nu sige om summen herunder?

$\sum_{n=1}^\infty (I-\lambda A)^n$

Kan du bruge det til at sige noget om $\lambda A?$ Husk nu at , så hvad gælder der så også om A? (Hint: Invertibilitet)

Svar #2
18. oktober 2016 af Rossa

Hvis $\lambda =0$ , så er $\left \| I-\lambda A \right \| < 1$ ikke sandt.

$A \ A^{-1} = I? \ ,\ det (A) \neq 0?$

A er n x n Matrix ?

Svar #3
18. oktober 2016 af Rossa

$A \ A^{-1} = I?$ og $det (A) \neq 0$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. oktober 2016 af Therk

Ja, hvorfor kan du sige at determinanten er forskellig fra nul? Kig på summen. Konvergerer den? Hvorfor? Hvad betyder det?

Svar #5
18. oktober 2016 af Rossa

Du har lige fortalt mig, at $\lambda \neq 0, og \ A \neq 0.$

Nu er jeg ikke helt sikkert, men jeg kan kun gætte, at matrix A vil convergere kun hvis komponenterne er mellem [0, 1[.

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. oktober 2016 af Therk

Jf. #2, så er lambda nødvendigvis forskellig fra nul_. Der står ingen steder håber jeg, for A er en matrice.

Matrix A behøver ikke at have indgange i intervallet (-1,1). Men jo, $I-\lambda A$ gør - ellers ville summen ikke konvergere. Og det er lige præcis hvad matrixnormen fortæller dig: Alle indgange er numerisk mindre end 1. Og så konvergerer summen, hvilket betyder at

$\sum_{n = 0 }^\infty (I-\lambda A)^n = (I-(I-\lambda A))^{-1} = (\lambda A) ^{-1}$

så og så er vi der - vi havde jo antaget at og dermed er

$\det \lambda A \ne 0 \quad \Leftrightarrow \quad \det A \ne 0$

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Benyt at for en konvergerende matrix B gælder der at

$\sum_{n = 0}^\infty B^n = (I-B)^{-1}$

Svar #7
19. oktober 2016 af Rossa

Det ser ud, som du bruger Neumann Series Teorem.
Du har skrevet:
$\sum_{n = 0 }^\infty (I-\lambda A)^n = (I-(I-\lambda A))^{-1} = (\lambda A) ^{-1}$
Bruger du formlen, som du har skrevet nedenfor?

Det bliver helt for abstrakt denne opgave. Jeg forstår dig, som om jeg skal vise, at matrix A convergerer.
Det bliver endnu svære nu.

Brugbart svar (1)

Svar #8
19. oktober 2016 af Therk

Din antagelse fortæller os at for en submultiplikativ norm, som den benyttede matrixnorm er, da gælder der at

$\Bigl \lVert \sum_{n = 0}^\infty (I-\lambda A)^n \Bigr\rVert \leq \sum_{n = 0}^\infty \lVert I-\lambda A \rVert^n < \infty$

Første ulighed kommer af definitionen på en matrixnorm og anden ulighed kommer fra antagelsen i #0, da den højre sum er en geometrisk række. Det betyder at også den venstre række er endelig.

Fordi rækken er endelig må vi lægge alle dets elementer til og trække dem fra igen. Vi omskriver enhedsmatricen med det trick og reducerer - jeg har forsøgt at farve, så du kan se hvor de forskellige ting kommer fra.

$\begin{align*} I = (I-\lambda A)^0 &= \overbrace{\sum_{n = 0}^\infty (I - \lambda A)^n}^{\text{tilf\o j for meget}} - \overbrace{\sum_{n = {\color{red}1}}^\infty \lambda (I-\lambda A)^{\color{red}n}}^{\text{tr\ae k det fra igen}}\\ &= {\color{blue}\sum_{n = 0} ^\infty (I-\lambda A)^n} - \color{DarkGreen}\sum_{n = {\color{red}0} }^\infty (I-\lambda A)^{{\color{red}n+1}} \\&= ({\color{blue}I}-{\color{DarkGreen}(I-\lambda A)}) \sum_{n = 0}^\infty (I-\lambda A)^n \end{align*}$

Det er identiteten i bunden af #6.

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Jeg håber nu du kan se at du kan reducere

$I-(I-\lambda A) = \lambda A$

og hvis den matrice har en invers OG λ≠0, så har også A en invers.

Svar #9
19. oktober 2016 af Rossa

Mange mange tak for hjælpen.

Skriv et svar til: Invertibel matrix

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.