Matematik

stamfunktioner til integraler

10. marts 2017 af 321bj (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle sammen. Jeg sidder med 2 opgaver hvor jeg skal bestemme stamfunktionen. Den 1. er 1/x + 1/(x*ln(x)). Hvordan bestemmer jeg denne stamfunktion? Ved godt at stamfunktionen til 1/x er lig med ln(x) men hvordan bestemmer jeg det 2. led?

I den anden opgave skal jeg bestemme stamfunktionen til x²/(3+2x²). Ved jeg skal bruge substitution og er begyndt men kan ikke få det til at fungere så jeg kan bestemme stamfunktionen ved substitution. Har vedhæftet denne med dertil hvor jeg er nået og ikke kan komme videre, så hvordan kommer jeg videre herfra eller har jeg gjort det forkert?

Vedhæftet fil: jh.docx

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. marts 2017 af Therk

Det interessante i at svare på dit første spørgsmål er: Hvordan giver man dig et hint uden at give dig svaret? Well, jeg kan ikke gøre det bedre end at foreslå dig at substitutere. Prøv at lege lidt med udtrykket. Du vil gerne substituere, så du får et udtryk på samme form som det første led. Dvs. foretag en substitution u så

∫1/u du = ∫ 1/(x*ln(x)) dx

$\int \frac 1u \, \mathrm du = \int \frac{1}{x\log x}\, \mathrm d x$

_{Beklager den manglende formatering af ligningen.}

Svar #2
10. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#1 ok så jeg skal substituere (x*ln(x)) med u?

Svar #3
11. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#1 har prøvet mig frem og fik den rigtige stamfunktion med den første så tak for hjælpen, men hvad med den anden. Hvordan skal jeg bruge substitutionen der; hvad skal jeg sætte lig med u. Synes ikke jeg kommer frem til nogen løsning, hverken når jeg sætter u =3 + 2x² eller u = x²

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. marts 2017 af SuneChr

Jeg vil formode, vi skal benytte

$\left ( \tan^{-1}x \right )^{'}=\frac{1}{x^{2}+1}$
og partiel integration,
men har ikke regnet på det.

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. marts 2017 af SuneChr

# 4 fortsat

Man har et færdigt integral. Arbejd lidt med

$\int \frac{x^{2}}{a+bx^{2}}\, \textup{d}x=\frac{x}{b}-\frac{a}{b}\int \frac{1}{a+bx^{2}}\, \textup{d}x$ og benyt det i # 4 på højresidens integral.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. marts 2017 af Therk

#3 Stort klap på skulderen for at du fik regnet opgaven!

Til den anden del, så synes jeg SuneChr har gjort et ligedan godt forsøg på at give dig ideen, uden at give dig løsningen. Prøv netop først at omskrive brøken til formen i #5 og benyt så omskrivningen i #4. Skriv endelig her, hvis du ikke helt kan komme i mål selv.

Svar #7
11. marts 2017 af 321bj (Slettet)

#5 det er partiel integration der er brugt der ik,det samme som integral(u(x)*v(x)) = U(x)*v(x)-integral(U(x)*v'(x)) ik?

#6 tak. det gav bedre mneing nu. mht. den anden opgave, står der i min bog jeg skal bruge substitution og ikke partiel integration. Men har fået et mærkeligt resultat på denne måde, der ikke passer med facitlisten (fik ngoet med at 2 variabler hvor både xog u skulle integreres, så skal jeg bruge partiel integration istedet?

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. marts 2017 af SuneChr

Du får her et ekstra puf, som kørte du på en el-cykel i modvind:

$\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\, \textup{d}x=\frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{x}{a})$ og overvej at sætte en konstant, en brøk, foran integraltegnet.

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. marts 2017 af Therk

I #5 er der brugt omskrivningen:

$\\\frac{x^2}{a+bx^2} = \frac{1}{\color{red}b} \cdot \frac {{\color{red}b}x^2}{a+bx^2} = \frac{1}{b}\cdot \frac{(bx^2\;{\color{red}+\;a}){\color{red}\; -\; a}}{a+bx^2} = \frac 1b - \frac 1b\cdot \frac a{a+bx^2}$

Det er også en kompliceret substitution, der, i mine øjne, er lidt bøvlet i forhold til hvad jeg ville forvente af en gymnasieelev. Se om SuneChrs hint hjælper.

Skriv et svar til: stamfunktioner til integraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.