Matematik

Differentialligning

10. november 2017 af hansenkamilla (Slettet) - Niveau: A-niveau

Nogen som kan hjælpe med den her opgave:

Gøre rede for, at man ikke kan benytte separation af de variable når løsningskurven til differentialligningen

dy/dx = x*(y+1)

Skal gå gennem punktet (-4, -1)
Selv om man ikke kan bruge separation af de variable, er der en løsning, man kan gætte. Angiv den løsning - husk definitionsmængde

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. november 2017 af mathon

separation af de variable:

$\small \frac{1}{y+1}\, \mathrm{d}y=x\, \mathrm{d}x$ som ved integration
giver:
$\small \int \frac{1}{y+1}\, \mathrm{d}y=\int x\, \mathrm{d}x$

$\small \ln(y+1)=\tfrac{1}{2}x^2+k$

$\small y+1=Ce^{\frac{1}{2}x^2}$ $\small C=e^k$

$\small y=Ce^{\frac{1}{2}x^2}-1$

samt
$\small -1=C\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (-4)^2}-1$

$\small C\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (-4)^2}=0$

$\small C\cdot e^{8}=0$

$\small C=0$ hvilket ikke giver mening, hvorfor punktet (-4, -1) må være forkert.

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. november 2017 af Sveppalyf (Slettet)

Kan man ikke sige at man ikke kan dividere med y+1 da dette antager værdien 0 (ved x = -4)?

Man kan gætte løsningen y = -1

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. november 2017 af mathon

$\small \small \small y> -1\text{ da }\ln(y+1)\text{ ellers ikke er defineret.}$

…

kontrolberegning på løsningen

$\small \small y=Ce^{\frac{1}{2}x^2}-1\Leftrightarrow Ce^{\frac{1}{2}x^2}=(y+1)$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=C\cdot e^{\frac{1}{2}x^2}\cdot x=\left ( y+1 \right )x=x\cdot (y+1)$

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. november 2017 af Sveppalyf (Slettet)

Er y = -1 en løsning til dy/dx = x*(y+1)?

Venstresiden:

dy/dx

y = -1 indsættes

d(-1)/dx = 0

Højresiden:

x*(y + 1)

y = -1 indsættes

x*(-1 + 1) = 0

Begge sider giver 0, så ligningen er opfyldt, og y = -1 er altså en løsning.

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. november 2017 af mathon

$\small \text{ l\o sningen }y=-1\text{ er mulig.}$

$\small \text{...men sandsynlig?}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. november 2017 af Eksperimentalfysikeren

#2 Jo, det er korrekt og godt set.

Svar #7
11. november 2017 af hansenkamilla (Slettet)

Tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.