Matematik

integral

26. november 2017 af soer381k - Niveau: A-niveau

nogen som kan hjælpe mig med at bestemme:

a) $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$

b) $\int \frac{e^x}{e^x+1}dx$

c) $\int x^2e^2^x^^^3dx$

d) $\int \frac{ln(x)}{x}dx$

e) $\int \frac{1}{xln(x)}dx$

Brugbart svar (1)

Svar #1
26. november 2017 af Mathias7878

$\small S\ae t \ u = \sqrt{x} \ og \ dermed \ dx = 2\cdot \sqrt{x}$

$\small \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx = \int \frac{e^u}{\sqrt{x}}\cdot (2\cdot \sqrt{x}) = 2 \cdot \int e^u = 2\cdot e^u = 2\cdot e^{\sqrt{x}}$

- - -

Svar #2
26. november 2017 af soer381k

er det så ikke u= x men hvad er dx? og hvordan bestemmer man denne?

Brugbart svar (1)

Svar #3
26. november 2017 af fosfor (Slettet)

Med u=x bliver b'eren jo bare
$\int \frac{e^u}{e^u+1}du$

Brugbart svar (1)

Svar #4
26. november 2017 af Mathias7878

I b) skal du sætte u = e^x+1

Når man bruger integration ved substituion skal man differentiere u og dermed

$\small \frac{du}{dx} = e^x+1 = e^x$

Nu skal du så isolere dx. Gang da med dx på begge sider

$\small du = e^x\cdot dx$

divider med e^x på begge sider

$\small dx = \frac{du}{e^x}$

Du kan så erstatte e^x+1 med u og dx med du/e^x

- - -

Brugbart svar (1)

Svar #5
26. november 2017 af mathon

$\small \int x^2{e^{2^x}}^ {^3}dx$

sæt $\small u=2x^3$ og dermed $\small \tfrac{1}{6}\mathrm{d}u=x^2\mathrm{d}x$

$\small \int e^{2x^3} x^2\, \mathrm{d}x=\tfrac{1}{6}\int e^u\, \mathrm{d}u=\tfrac{1}{6}e^u+k=\tfrac{1}{6}e^{2x^3}+k$

Brugbart svar (1)

Svar #6
26. november 2017 af mathon

$\small \small \int \frac{\ln(x)}{x}\, \mathrm{d}x$

sæt $\small u=\ln(x)$ og dermed $\small \mathrm{d}u=\tfrac{1}{x}\mathrm{d}x$

$\small \small \int \frac{\ln(x)}{x}\, \mathrm{d}x=\small \int\ln(x)\frac{1}{x}\, \mathrm{d}x=\int u\, \mathrm{d}u=\tfrac{1}{2}u^2+k=\tfrac{1}{2} \ln^2(x)+k$

Brugbart svar (1)

Svar #7
26. november 2017 af mathon

$\small \small \small \int \frac{1}{x\ln(x)}\, \mathrm{d}x$

sæt $\small u=\ln(x)$ og dermed $\small \mathrm{d}u=\tfrac{1}{x}\mathrm{d}x$

$\small \int \frac{1}{\ln(x)x}\, \mathrm{d}x=\small \int\frac{1}{\ln(x)}\frac{1}{x}\, \mathrm{d}x=\int \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u=\ln(u)+k=\ln(\ln(x))+k$

Brugbart svar (1)

Svar #8
26. november 2017 af mathon

$\small \small \text{s\ae t u =} \sqrt{x}\text { og dermed } \; \; 2\mathrm{d}u = \sqrt{x}\, \mathrm{d}x$

$\small \int e^{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x =2\int e^{u}\,\mathrm{d}u=2e^u+k=2e^{\sqrt{x}}+k$

Brugbart svar (1)

Svar #9
26. november 2017 af mathon

$\small \small \small \text{s\ae t u = } e^x+1\text { og dermed } \; \; \mathrm{d}u = e^x\, \mathrm{d}x$

$\small \int \frac{1}{e^x+1}\,e^x\mathrm{d}x =\int\frac{1}{u}\mathrm{d}u=\ln(u)+k=\ln(e^x+1)+k$

Brugbart svar (1)

Svar #10
26. november 2017 af mathon

alternativt:

b)
$\small \small \int \frac{1}{e^x+1}\,e^x\mathrm{d}x =\small \int \frac{1}{e^x+1}\,\mathrm{d (e^x )}=\small \int \frac{1}{e^x+1}\,\mathrm{d (e^x+1 )}=\ln\left ( e^x+1 \right )+k$

Skriv et svar til: integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.