Isoleret lokal minimizer

x* er isolated local minimizer hvis 2 ting gælder: 
   1.-  x* er local minimizer, som er defineret ved at  f(x*) ≤ f(x) gælder for alle x i en åben omegn om x*
   2.-  there exists an open neighborhood of x* where x* is the only local minimizer

Jeg har tilføjet "local" til den 2. betingelse, da remark 1.1 ikke udgør et modeksempel hvis man opfatter "minimizer" som "global minimizer", hvilket oftest menes når der bare skrives "minimizer".

Antag at x* er en isolated local minimizer, og lad A og B være omegne svarende til hvert af de to krav.

C = A ∩ B  er en åben omegn om x* med egenskaberne: 
   1.-  For alle x ∈ C gælder f(x*) ≤ f(x), da C er en delmængde af A
   2.-  x* er den eneste lokale minimizer i C, da C er en åben delmængde af B, hvor x* er den eneste

Med  x** ∈ C / {x*}  så er x** ikke en local minimizer jf. 2. Dvs. en hvilken som helst åben omegn om x** indeholder et element x, så f(x) < f(x**)  pr. neglationen af definitionen af local minimizer.

C er en åben omegn om x**, hvorfor der eksisterer x ∈ C således at  f(x) < f(x**).
Samtidigt har vi  f(x*) ≤ f(x)  jf. 1. Kombineres ulighederne fås: 
  f(x*) ≤ f(x) < f(x**)    =>    f(x*) < f(x**)          for x** ∈ C / {x*}, hvor C er åben omegn om x*. 
hvilket præcist er definition 1.2. 

Mange tak, det hjælper