Matematik

Bevis for en implikation (2.12.2)

11. oktober 2019 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Opgaven er vedhæftet som billede.

Spørgsmål 1: Hvorfor er der ikke en biimplikation. I mine mellemregning fra x/y +y/x ≤ 2 til (x-y)^2≤0 kunne jeg da ikke se nogle steder hvor jeg ikke kunne skrive en biimplikation?

Spørgsmål 2: Den måde jeg har vist implikationen er ved at omskrive hypotesen til konklusione ved regne regler for de reelle tal.

Spørgsmål 3: Jeg tænke lidt på hvorvidt implikationen er sand eller ej. Men det er den vel pr. definition selvom hypotesen er falsk for x=10 og y=5 (dvs. den ikke er sand for alle reelle tal). Konklusionen er ligeledes falsk for x=10 og y=5.

Spørgsmål 4: Skal implikation ikke skrives sådan: "for alle x,y i R: x/y +y/x ≤ 2 ≈> (x-y)^2≤0"?

Spørgmsål 5: Hvordan laver jeg modstridsbeviet?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2019-10-11 kl. 17.34.05.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. oktober 2019 af oppenede

Fordi den første ulighed er ugyldig når x=y=0, mens den anden er sand.

Svar #2
11. oktober 2019 af anonym000

#1 Fordi den første ulighed er ugyldig når x=y=0, mens den anden er sand.

Nej, der stå jo at x og y er positive reelle tal.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. oktober 2019 af Anders521

Den sidste skrevet ulighed er forkert. Kvadreringen af x-y bliver til et ikke-negativ tal - ulighedstegnet skal altså vendes.

Svar #4
11. oktober 2019 af anonym000

#3
Den sidste skrevet ulighed er forkert. Kvadreringen af x-y bliver til et ikke-negativ tal - ulighedstegnet skal altså vendes.

Det skal den faktisk ikke. Prøv at lave udregninger, og husk på at x og y er positive reelle tal.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. oktober 2019 af Soeffi

#0.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. oktober 2019 af Anders521

#4 Så du siger, at den sidstskrevne uligheden (x-y)² ≤ 0 er sandt? Godt, lad os gøre et forsøg. Sæt x=1 og y=0,5, da er (x-y)² = (1-0,5)²=0,25. Da 0,25>0 er din ulighed forkert.

Svar #7
11. oktober 2019 af anonym000

#6
#4 Så du siger, at den sidstskrevne uligheden (x-y)² ≤ 0 er sandt? Godt, lad os gøre et forsøg. Sæt x=1 og y=0,5, da er (x-y)² = (1-0,5)²=0,25. Da 0,25>0 er din ulighed forkert.

Jeg tror at du desværre har misset pointen i denne opgave. Man kigger på sandhedsværdier for implikationen.

Desuden er uligheden ikke min. Den står i bogen. Se #5.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. oktober 2019 af Anders521

Du skriver i #4 "Prøv at lave udregninger, og husk på at x og y er positive reelle tal". Det gør jeg så i #6 med et eksempel. Gerne forklar, hvorfor du mener uligheden gælder (selvom det ikke er pointen med opgaven) eller hvis du mener eksemplet er forkert.

Svar #9
11. oktober 2019 af anonym000

Jeg mente: prøv at omskrive x/y +y/x ≤ 2 til (x-y)^2≤0 og husk på at x og y er postive.

Min fejl.

Man er interesseret i hypotetiske udsagn. Jeg mener ikke er uligheden "gælder". Her har jeg brugt din betydning af "gælder" og ikke min egen. Hvis man antager x/y +y/x ≤ 2, så kan man via nogle omskrivninger komme frem til (x-y)^2≤0.

- - -

...............

Brugbart svar (1)

Svar #10
11. oktober 2019 af LeonhardEuler

Det bliver en hurtig bevarelse af dine spørgsmål fra mobilen.
Spgm 1: Der er ikke biimplikation, da du kun på venstresiden antager x, y er positive.
Spgm 2: Det er ikke et spørgsmål?
Spgm 3: Implikation siger kun, hvis venstresiden er sand, så er højresiden også sand. Eller ækvivalent hvis højresiden er falsk, så er venstresiden også falsk.
Spgm 4: For at det skal være en biimplikation, så skal du også antage, at x, y er positive på højresiden.
Spgm 5: Benyt det ækvivalente udsagn: hvis venstresiden er falsk, så er højresiden også. Du skal bare vise, at venstresiden er falsk i dette tilfælde med to forskellige positive tal x, y.

Brugbart svar (1)

Svar #11
11. oktober 2019 af Soeffi

#0. Der gælder:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq 2\wedge x>0\wedge y>0\Leftrightarrow$

$x^2+y^2 \leq 2xy\wedge x>0\wedge y>0\Leftrightarrow$

$x^2-2xy+y^2 \leq 0 \wedge x>0\wedge y>0 \Leftrightarrow$

$(x-y)^2 \leq 0 \wedge x>0\wedge y>0\Leftrightarrow$

$|x-y| \leq 0 \wedge x>0\wedge y>0\Leftrightarrow$

$x=y \wedge x>0\wedge y>0$

Dette vil sige, at

$x\neq y \wedge x>0\wedge y>0\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2$

Svar #12
11. oktober 2019 af anonym000

#10 Det bliver en hurtig bevarelse af dine spørgsmål fra mobilen.
Spgm 1: Der er ikke biimplikation, da du kun på venstresiden antager x, y er positive.
Spgm 2: Det er ikke et spørgsmål?
Spgm 3: Implikation siger kun, hvis venstresiden er sand, så er højresiden også sand. Eller ækvivalent hvis højresiden er falsk, så er venstresiden også falsk.
Spgm 4: For at det skal være en biimplikation, så skal du også antage, at x, y er positive på højresiden.
Spgm 5: Benyt det ækvivalente udsagn: hvis venstresiden er falsk, så er højresiden også. Du skal bare vise, at venstresiden er falsk i dette tilfælde med to forskellige positive tal x, y.

Dit svar til spm. 5. Okay, og det gør man jo: altså antager at x og y er postive.

- - -

...............

Svar #13
11. oktober 2019 af anonym000

#11
#0. Der gælder:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq 2\wedge x>0\wedge y>0\Leftrightarrow$

$x^2+y^2 \leq 2xy\wedge x>0\wedge y>0\Leftrightarrow$

$x^2-2xy+y^2 \leq 0 \wedge x>0\wedge y>0 \Leftrightarrow$

$(x-y)^2 \leq 0 \wedge x>0\wedge y>0\Leftrightarrow$

$|x-y| \leq 0 \wedge x>0\wedge y>0\Leftrightarrow$

$x=y \wedge x>0\wedge y>0$

Dette vil sige, at

$x\neq y \wedge x>0\wedge y>0\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2$

Tak.

Du skriver ikke helt hvad det er du vil frem til, men det meste giver da god mening.

Desuden, din slutning må gerne suppleres med en forklaring!

Det som jeg har svært ved at forstå er delen med bevis ved modstrid.

- - -

...............

Brugbart svar (1)

Svar #14
11. oktober 2019 af Bibo53

Da $x,y>0$ gælder der

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq 2 \Rightarrow \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\cdot xy\leq 2xy\\$

$\Rightarrow x^2+y^2\leq 2xy\\$

$\Rightarrow x^2+y^2-2xy\leq 0$

$\Rightarrow (x-y)^2\leq 0$ .

Modstridsbevis: Lad $x$ og $y$ være forskellige positive reelle tal. Der gælder da

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2$ .

Antag nemlig at

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq 2$ .

Ifølge argumentet ovenfor gælder der så $(x-y)^2\leq 0$ , hvilket er en modstrid, da $x$ og $y$ er forskellige.

Svar #15
11. oktober 2019 af anonym000

#14
Da $x,y>0$ gælder der

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq 2 \Rightarrow \left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\cdot xy\leq 2xy\\$

$\Rightarrow x^2+y^2\leq 2xy\\$

$\Rightarrow x^2+y^2-2xy\leq 0$

$\Rightarrow (x-y)^2\leq 0$ .

Modstridsbevis: Lad $x$ og $y$ være forskellige positive reelle tal. Der gælder da

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2$ .

Antag nemlig at

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq 2$ .

Ifølge argumentet ovenfor gælder der så $(x-y)^2\leq 0$ , hvilket er en modstrid, da $x$ og $y$ er forskellige.

Arrrhhh :-) Nu er jeg med. Desuden havde jeg helt glemt at x og y skulle være forskellige... det var derfor jeg ikke kunne se det med modstrid nogen steder.

Tak til alle for deres bidrag.

Hvad siger du til at gøre ligesom Sofie?

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #16
11. oktober 2019 af Anders521

#15 Hvem henvender du dig til?

Brugbart svar (0)

Svar #17
12. oktober 2019 af AskTheAfghan

Hvis man arbejder videre på den første del af opgaven, vil man indse, at (x - y)² ≤ 0 medfører x = y. Den sidste del af opgaven er blot det kontraponerede udsagn til det første.

Skulle man alligevel vise det ved mostrid; Antag at x ≠ y er positive og at x/y + y/x ≤ 2. Uligheden ville jo medføre, at x = y, modstrid.

Skriv et svar til: Bevis for en implikation (2.12.2)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.