Skadeforsikring

For uafhængige stokastiske variable X og Y gælder at E(X·Y) = E(X)·E(Y) og V(X + Y) = V(X) + V(Y).
Kan det måske hjælpe dig?

Nej, det hjælper ikke rigtigt

Det benyttes tower property.

Du kan vel ikke hjælpe mig med de gule lighedstegn? Forstår det stadig ikke, nu hvor du påpeger, at tower property er benyttet.

Jo.

Der benyttes tower property og uafhængighed.

For det andet så er første lighed en sætning. Du kan let bevise den ved at opskrive og rodde rundt med udtrykkene. For andet lighed benyttes bl.a.

og heraf regne sidste udtryk ud. Prøv selv med de sidste. Kom gerne med dit eget forsøg.

#EDIT: Der sneg sig et forkert M^2 ind. Der skal naturligvis være M.

#5 Jeg synes det er svært at forholde sig til dine udregninger, eftersom du har ændret "bogstaverne" i sum nummer 2. Den skal starte fra i=1 og gå op til N_{M}, men du har ændret det til mi=1op til N? 

#6 Jeg kan ikke rigtig finde den sætning i vores bog, så jeg ville sætte stor pris på, at du prøvede at forklare det ud fra de beregninger som fremgår på billedet, eftersom det er en sætning, vi har haft meget i løbet af kurset :) 

Hov, det har du ret i. Det er nu ment som i og ikke mi.

Hvad er dine forudsætninger? Hvilke fag har du haft om, og har du defineret og vist regneregler for betinget for forventninger? 

1)
Kan du prøve at forklare hvorfor du betinger med M og senere med N_{m}? Og i lighedstegn nummer 5 fjerner du den betingede... hvorfor må du det? Og hvordan fås E[X_{11}] tilsidst?

2) (svar på dit spørgsmål om “Hvad er dine forudsætninger?...)
Jeg har haft “forsikring og jura” og er nu igang med kurset “skade 1”. Er på 3. år af uddannelsen :-)

Jeg antager, at du ikke har haft om betingede forventninger. Mine argumenter bliver derfor mere intuitive end stringente:

Første ligning:

I andet lighed benytter du law of total expectation eller tower property. Det er en kendt sætning, som man kan vise ud fra definitionen af betingede forventninger. Den intuitive forklaring herefter er, at når vi betinger med M, så er M inde i forventningen kendt. Det er et tal.  Ved tredje og fjerde lighed benytter vi linearitet af forventning. Ved femte benytte endelig at (Σ^N_mX_mi)_m er iid 

Fordi (Σ^N₁X_1i) er uafhængig af M, så har vi sjette lighed. Bemærk at E[Σ^N₁X_1i] er et tal, så vi kan hive den ud af forventningen:

Resten er egentlig bare det samme argument. Brug tower property og brug igen iid argument. 

her i lidt hurtige skridt

og sidst

Jeg er helt med nu :-)
Tusinde tak for den grundige forklaring, det er virkelig pænt af dig! :)

Anden ligning:

Bemærk først at fordi M er kendt, så er det summen af M iid stokastiske variabler

vi kan derfor benytte linearitet i varians for uafhængige stokastiske variabler.

benyt ydermere at de er uafhængige af M og de er ens fordelte (så variansen er ens).

Bemærk at de sidste tre lighederne her er ikke matematisk gyldige. Der skal lidt mere til for at bevise det stringent. For den sidste varians så kan du finde det i din bog til EN₁EX₁₁², så du får at første led til

Hvor vi bruger at variansen er konstant og kan hives ud af forventningen.

For sidste led: Først benytter vi at vi allerede ved første lighed regnede på den betingede forventning af S_m. Resultatet fik vi ved ligning (5). Så vi har her

Bemærk at forventningen er et tal, så vi kan hive den ud af variansen men husk at løfte den til anden

hvor vi i sidste lighed bruger igen resultate fra opgave 1. Det er faktisk mit svar i #11.

Jeg forstår også dine udregninger for variansen, men resultatet stemmer ikke helt overens med det resultat, som ses i mit vedhæftede billede?

Jeg synes, da at jeg kommer frem til det samme?

Hehe, jeg havde overset #14, hvilket også skabte lidt forvirring for mit vedkommende, men jeg forstår opgaven nu.
Jeg takker endnu engang for din hjælp. Den er yderst værdsat :-D

Velbekommen.

Det er ikke lektierelateret, men ren nysgerrighed...
Er du stadig studerende, nyuddannet eller er det er stykke tid siden du blev færdig? :)

Jeg er skam stadig studerende. Helt præcist er jeg fire år inde i studiet.