Matematik

BEVIS

01. maj 2020 af Danmark2018 - Niveau: B-niveau

Hej, jeg har brug for lidt hjælp til at lave et bevis for formlen for bestemmelse af vinklen mellem to vektoer.

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. maj 2020 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} \textup{Der g\ae lder:}&\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a\cdot b\cdot \cos(v)&&a\textup{ og }b\textup{ er vektorl\ae ngder}\\\\& v = \cos^{-1}\left (\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{a\cdot b} \right ) \end{array}$

Svar #2
01. maj 2020 af Danmark2018

#1
$\small \small \begin{array}{lllll} \textup{Der g\ae lder:}&\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a\cdot b\cdot \cos(v)&&a\textup{ og }b\textup{ er vektorl\ae ngder}\\\\& v = \cos^{-1}\left (\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{a\cdot b} \right ) \end{array}$

Hvordan skal jeg bevise det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. maj 2020 af ringstedLC

Se her: https://www.webmatematik.dk/lektioner/beviser

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. maj 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{for vilk\aa lige enhedsvektorer } \mathbf{e}\textup{ og }\mathbf{f}\\ \textup{g\ae lder:}&\mathbf{e}\cdot \mathbf{f}=\cos(v)\\\\ \textup{er }\mathbf{e}=\frac{\mathbf{a}}{a}\textup{ og }\mathbf{f}=\frac{\mathbf{b}}{b}\textup{ haves:}&\frac{\mathbf{a}}{a}\cdot \frac{\mathbf{b}}{b}=\cos(v)\\\\& v=\cos^{-1}\left ( \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{a\cdot b} \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. maj 2020 af Eksperimentalfysikeren

Jeg har lige set den video, #3henviser til. Jeg kan anbefale den.

Selve beviset er lidt vel langt til at kunne gengives her på SP, så det er en god idé med videoen.

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. maj 2020 af AMelev

Hvis I har vist regnereglerne for skalarprodukt, er beviset en hel del kortere, og ellers vil det måske være nemmest at vise dem først. Du kan evt. nøjes med at vise de to, der direkte anvendes. Jf vedhæftede..

Vedhæftet fil:Skalarprodukt.pdf

Svar #7
11. maj 2020 af Danmark2018

Er der en, er kan skrive det ned, altsp step by step, fordi jeg forstår ikke helt videon?

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. maj 2020 af oppenede

Vektorpilen for b-a i pdfen representerer a-b

Svar #9
11. maj 2020 af Danmark2018

#8
Vektorpilen for b-a i pdfen representerer a-b

Men hvad skal man sige når man skal bevise det?

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. maj 2020 af mathon

Forklar sammenhængen i #4

Svar #11
11. maj 2020 af Danmark2018

#10
Forklar sammenhængen i #4

Det kan jeg jo ikke

Brugbart svar (0)

Svar #12
11. maj 2020 af swpply (Slettet)

Lad $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ og $\begin{align*} \beta \end{align*}$ benævne retningsvinklerne for vektorerne $\begin{align*} \mathbf{a} \end{align*}$ hhv. $\begin{align*} \mathbf{b} \end{align*}$ . Da har du at

$\begin{align*} \mathbf{a} = \vert\mathbf{a}\vert\begin{pmatrix}\cos\alpha \\ \sin\alpha\end{pmatrix} \qquad\text{og}\qquad \mathbf{b} = \vert\mathbf{b}\vert\begin{pmatrix}\cos\beta \\ \sin\beta\end{pmatrix} \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} &= \vert\mathbf{a}\vert\vert\mathbf{b}\vert\begin{pmatrix}\cos\alpha \\ \sin\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\cos\beta \\ \sin\beta\end{pmatrix} \\ &= \vert\mathbf{a}\vert\vert\mathbf{b}\vert\big(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\big) \\ &= \vert\mathbf{a}\vert\vert\mathbf{b}\vert\cos(\alpha-\beta) \end{align*}$

og observer til sidst at $\begin{align*} \alpha-\beta \end{align*}$ er vinklen imellem de to vektorer.

Svar #13
11. maj 2020 af Danmark2018

Hvordan gør jeg step by step?

Vedhæftet fil:Vinkel.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #14
11. maj 2020 af swpply (Slettet)

#13
Hvordan gør jeg step by step?

Hvad er du i tvivl om?

Videon der er linket til i #3 gennemgår på glimrende vis bevist ved brug af cosinusrelationen.

Jeg tilføjet i #12 et andet besvis der ikke gør brug af cosinusrelationen i håb om at du vil finde dette bevis nemere at følge.

Brugbart svar (0)

Svar #15
11. maj 2020 af AMelev

Du skal vænne dig til at bruge din formelsamling. Der står alt det, du sammen med din folkeskolelærdom skal bruge.
Se vedhæftede.

Vedhæftet fil:Bevis.pdf

Skriv et svar til: BEVIS

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.