Matematik

Andengradspolynomium

27. august 2020 af Matematikergodt (Slettet) - Niveau: 9. klasse

Hej, SP håber I vil besvare mine følgende spørgsmål:

Hvordan tegnes et andengradspolynomium ud fra en tabel?

Hvordan beregnes x værdier ud fra forskriften y=ax²+bx+c (,) hvis jeg kender den tilsvarende y-værdi i tabelen?

Jeg forstår heller ikke følgende sætning: "Parablen er symmetrisk omkring toppunktet" (Gør det Grafisk, venligst)

Fortsæt god dag!

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. august 2020 af Anders521

#0 Hvis y-værdien, y₀, kendes, kan den tilhørende x-værdi, x₀, bestemmes ved at løse (2.grads)ligningen y₀ = ax²+bx+c.

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. august 2020 af mathon

Udarbejd et "sildeben” og indtegn punkterne i et koordinatsystem.

$\small \small \begin{array}{llllll} ax^2+bx+c=y\\\\ ax^2+bx+(c-y)=0&a,b,c,x,y\in\mathbb{R}\\\\ x=\frac{-b\mp \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot (c-y)}}{2a}&\textup{\textbf{foruds\ae tter} }b^2-4\cdot a\cdot (c-y)\geq 0 \end{array}$

Svar #3
27. august 2020 af Matematikergodt (Slettet)

Tusind tak Anders og Mathon! Nu har jeg forstået, hvordan jeg endelig finder x når der kendes y værdien i en tabel.

Mit sidste spørgsmål:

Hvordan tegnes en parabel i hånden eller når jeg har en onlinetest og kender ligningen for parablen?

Kan man vælge tilfælde x-værdier man vil indsætte i sildebenet? Jeg har nemlig set, at toppunkterne/skæring med x-aksens og symmetri omkring toppunktet også er med i tabelen.

Hvad menes egentlig med: " Parablen er symmetrisk omkring toppunktet"?

Brugbart svar (0)

Svar #4
27. august 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} f(x)=ax^2+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{-d}{4a}\\\\ f(\frac{-b}{2a}-x)=f(\frac{-b}{2a}+x)\qquad \textup{dvs symmetri om }\frac{-b}{2a}\textup{, som er toppunktets 1. koordinat.}\\\\ \textup{symmetriaksens ligning er }x=\frac{-b}{2a} \end{array}$

Svar #5
27. august 2020 af Matematikergodt (Slettet)

#4
$\small \begin{array}{lllll} f(x)=ax^2+bx+c=a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{-d}{4a}\\\\ f(\frac{-b}{2a}-x)=f(\frac{-b}{2a}+x)\qquad \textup{dvs symmetri om }\frac{-b}{2a}\textup{, som er toppunktets 1. koordinat.}\\\\ \textup{symmetriaksens ligning er }x=\frac{-b}{2a} \end{array}$

Tak, Mathon! Håber du kan vise det grafisk, da jeg ikke lige fatter alt i dit ovenover eks. Jeg kan godt finde frem til parablens ligning tre ligninger med tre ubekendte.

Svar #6
27. august 2020 af Matematikergodt (Slettet)

#2
Udarbejd et "sildeben” og indtegn punkterne i et koordinatsystem.

$\small \small \begin{array}{llllll} ax^2+bx+c=y\\\\ ax^2+bx+(c-y)=0&a,b,c,x,y\in\mathbb{R}\\\\ x=\frac{-b\mp \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot (c-y)}}{2a}&\textup{\textbf{foruds\ae tter} }b^2-4\cdot a\cdot (c-y)\geq 0 \end{array}$

Mathon, kan du eller Anders eller måske en anden person bede om at fortælle, hvorfor x findes sådan, som du, Mathon, har regnet det ud?

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. august 2020 af AMelev

#3
Når du skal tegne parablen, hvor du kender ligningen, kan du bare beregne støttepunkter, som du selv foreslår, men toppunkt og evt. skæring med 1.aksen bør altid være med. Til gengæld kan du nøjes med at beregne værdier på den ene side af toppunktet pga. symmetrien.
Derefter må du tegne en blød kurve gennem de afsatte punkter så godt som muligt.
Der gælder faktisk en nem "tegneregel": Hvis du fra toppunket går 1 til højre, skal du gå a op. Hvis du derfra går 1 th. skal du gå 3a op. Hvis du derfra går 1 th. skal du gå 5a op osv.

At " Parablen er symmetrisk omkring toppunktet" burde være " Parablen er symmetrisk omkring den lodrette linje gennem toppunktet". Dvs. at du har samme y-værdi, når du går det samme til højre og venstre for toppunket. Hvis du fx har toppunkt i x = 1, så er y-værdierne de samme for x = -1 og x = 3 (2 til hver side af toppunktet) eller for x = 0 og x = 2 (1 til hver side af toppunktet) eller for x = 3 og x = 5 (4 til hver side af toppunktet).
Det skyldes, at parablen er en parallelforskydning af grafen y = a·x², hvor a·(-x)² jo er det samme som a·x².

Vedhæftet fil:Udklip.JPG

Svar #8
27. august 2020 af Matematikergodt (Slettet)

#7
#3
Når du skal tegne parablen, hvor du kender ligningen, kan du bare beregne støttepunkter, som du selv foreslår, men toppunkt og evt. skæring med 1.aksen bør altid være med. Til gengæld kan du nøjes med at beregne værdier på den ene side af toppunktet pga. symmetrien.
Derefter må du tegne en blød kurve gennem de afsatte punkter så godt som muligt.
Der gælder faktisk en nem "tegneregel": Hvis du fra toppunket går 1 til højre, skal du gå a op. Hvis du derfra går 1 th. skal du gå 3a op. Hvis du derfra går 1 th. skal du gå 5a op osv.

At " Parablen er symmetrisk omkring toppunktet" burde være " Parablen er symmetrisk omkring den lodrette linje gennem toppunktet". Dvs. at du har samme y-værdi, når du går det samme til højre og venstre for toppunket. Hvis du fx har toppunkt i x = 1, så er y-værdierne de samme for x = -1 og x = 3 (2 til hver side af toppunktet) eller for x = 0 og x = 2 (1 til hver side af toppunktet) eller for x = 3 og x = 5 (4 til hver side af toppunktet).
Det skyldes, at parablen er en parallelforskydning af grafen y = a·x², hvor a·(-x)² jo er det samme som a·x².

Kæmpe takker herfra mig!

Har lige et sidste spørgsmål:

Kan du lige forklare Mathon's trin, når han finder x-værdien, når man kender den tilsvarende y-værdi?

Brugbart svar (0)

Svar #9
27. august 2020 af AMelev

#8 Hvis det gælder #2, så skaffes først 0 på højresiden.
Så benyttes løsningsformlen til 2.gradsligningen a·x² + b·x + c = 0.
Hvis det er en redegørelse for løsningsformlen, du er på jagt efter, så så se fx dette link.

Svar #10
27. august 2020 af Matematikergodt (Slettet)

#9
#8 Hvis det gælder #2, så skaffes først 0 på højresiden.
Så benyttes løsningsformlen til 2.gradsligningen a·x² + b·x + c = 0.
Hvis det er en redegørelse for løsningsformlen, du er på jagt efter, så så se fx dette link.

Ok, men jeg har lige et spørgsmål: Hvorfor skriver han +- i løsningen til at finde x?

Brugbart svar (0)

Svar #11
27. august 2020 af AMelev

Fordi der er to løsninger, når d > 0 jf linket i #9.

Svar #12
27. august 2020 af Matematikergodt (Slettet)

#11
Fordi der er to løsninger, når d > 0 jf linket i #9.

Når ja, tak!

Fortsæt god aften

Vh Mathias A.

Skriv et svar til: Andengradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.