Differentialligninger, HTX, eksamenssæt fra august 2020.

Hvad betyder fikspunkterne? Har du haft teori om det? Har du hørt ordet fikspunkt før? I så fald, for at du bestemmer fikspunkterne, sæt differentialligningen lig 0 og løs mht. y. Prøv at gør det først. 

Så får jeg fikspunkter til y=0, 30 og 1000.  Og tak for forklaringen! 

Hvad med b og c? Er lidt tabt på differentialligninger.... 

#3. Du skal nok bl.a. lave et fasediagram, dvs. en afbildning af y' ud af andenaksen mod y ud af førsteaksen. 

Dette giver et tredjegrads-polynomium, der har y = 0, y = k og y = 1000 som nulpunkter. 

Disse nulpunkter er fikspunkter, dvs. y værdier hvor y' = 0. Hvis populationen antager netop denne værdi, så vil den ikke ændre sig. 

Fasediagrammet viser, at y' er negativ for værdier mindre end k og positiv for værdier, der er større. Dvs. at y = k er et frastødende fikspunkt eller et ustabilt ligevægtspunkt. 

Rent fysisk betyder det, at populationen skal være over k for at overleve.

#3 For at lave en grafiskanalyse af din model må du nok tegne den i et (y, y')-koordinatsystem. Med fikspunkterne/ligevægtspunkterne kan du dele y-aksen i intervaller, hvor du kan afgøre fortegnet for

y → y·( 1000-y )·( y-k ) 

i hvert af disse, og dermed udlede om y er aftagende, voksende eller konstant. 

Hej alle sammen. Tusind tak for diverse svar. 

Jeg har fået styr på spm a og b - jeg har tegnet graferne og fundet fikspunkterne. 

Ift. spm c har jeg forsøgt at afbillede nogle forskellige værdier for k - og kan ud fra grafen se at populationens størrelse ændrer sig hurtigere jo lavere k-værdi (se billede). 

Er det en korrekt løsning af opgaven? 

#6 Så du har y som 1.akse der angiver antallet af biller, men hvad har du som 2.akse? I øvrigt stemmer figuren overens hvad du har fundet ud af b)?

Helt konkret har jeg plottet de 4 dataserier (med y på 1. aksen, og y' på 2. aksen). 

y'=y*(1000-y)*(y-2)

y'=y*(1000-y)*(y-20)

y'=y*(1000-y)*(y-30)

y'=y*(1000-y)*(y-50)

Har gjort dette for at finde ud af, hvilken betydning k har - hvilket er det jeg læser, at man skal i opgaven?