Fysik

Uegentligt integral

13. september kl. 16:59 af CecilieBebsi - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg sidder fast i min opgave, nogen det kan hjælpe mig videre?

Opgaven:
Afgør om flg. uegentlige integraler er konvergente og udregn dem, når de er.
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx

Indtil videre har jeg skrevet:
Da der ikke kan stå 0 i nævneren, benytter vi, at vi i stedet kan sætte a ind på den nedre grænse:
\int_{a}^{1}\frac{1}{x^2}dx=[\frac{1}{x^2}]_a^1=-\frac{1}{1}-(-\frac{1}{a})=-1+\frac{1}{a}

Nu kan vi så lade a gå mod 0, og se hvad der sker:
\lim_{a\rightarrow 0}(-1+\frac{1}{a})

Og det er så her jeg er gået i stå. Jeg ved ikke rigtigt hvad jeg skal gøre nu.


Svar #1
13. september kl. 17:21 af CecilieBebsi

Jeg har nu i stedet for a skrevet 1/n.

Kan det passe, at når man lader n gå mod 0, så nærmer den sig uendelig?


Svar #2
13. september kl. 17:39 af CecilieBebsi

Glem #1, er gået tilbage til a


Brugbart svar (1)

Svar #3
13. september kl. 17:48 af Anders521

#2 Generelt gælder der, at integralet 

                                                                           \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}                                                                                     konvergerer hvis p < 1, og divergerer hvis p ≥ 1. I dit tilfælde er p = 2 > 1 og vil derfor divergerer.

I øvrigt kom du til at lave en fejl i en mellemregning:

                                          \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2}=\bigg[ -\frac{1}{x}\bigg]_0^1=-1+\frac{1}{x}\rightarrow \infty \quad x\rightarrow \0^+


Svar #4
13. september kl. 17:51 af CecilieBebsi

#3

#2 Generelt gælder der, at integralet 

                                                                           \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}                                                                                        konvergerer hvis p < 1, og divergerer hvis p ≥ 1.

Er ikke helt sikker på, at jeg forstår hvad du mener / hvad/hvordan jeg kan bruge denne info i opgaven


Brugbart svar (0)

Svar #5
13. september kl. 17:59 af Anders521

#4 Bemærk at du har integranden 1/x2. Derfor er info'en jeg gav dig relevant.


Svar #6
13. september kl. 18:02 af CecilieBebsi

#5

#4 Bemærk at du har integranden 1/x2. Derfor er info'en jeg gav dig relevant.

Ja den del havde jeg godt fået med. Men jeg er stadigvæk ikke sikker på hvordan jeg skal brug xp ift. x2.


Svar #7
13. september kl. 18:03 af CecilieBebsi

Nårh fordi x2 så er den divergent da p>1


Svar #8
13. september kl. 18:05 af CecilieBebsi

Men hvor har du fra at det generelt gælder på den måde? For det er endnu ikke noget vi har hørt om, og jeg skal kunne henvise til de sætninger osv jeg gør brug af. Hvor vil jeg kunne finde det henne? Kan ikke finde det når jeg søger på nettet


Brugbart svar (1)

Svar #9
13. september kl. 18:05 af Anders521

#7 Fordi xp hvor p = 2 > 1, er integralet divergent  ;-)

#8 Tom Lindstrøm, Kalkulus, 4.udgave s. 525


Brugbart svar (1)

Svar #10
13. september kl. 18:18 af Anders521

Korrektion: sidetallet bør være 528


Svar #11
13. september kl. 18:26 af CecilieBebsi

#10

Korrektion: sidetallet bør være 528

Mange tak, jeg vil se, om jeg kan finde noget mere om det. :)

Men jeg mangler dog stadig at kunne finde ud af hvor vidt noget går mod uendelig, 0 eller noget helt 3. :')

Indtil videre har jeg blot brugt min lommeregner og sat nogle tal fra 0 til 10 ind og set hvad der sker, men er der en nemmere måde at gennemskue, hvad funktionen nærmer sig når vi lader n gå mod noget? Er det bare basic kendskab til de forskellige funktioner, der skal til?


Svar #12
13. september kl. 18:27 af CecilieBebsi

#3

#2 Generelt gælder der, at integralet 

                                                                           \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}                                                                                     konvergerer hvis p < 1, og divergerer hvis p ≥ 1. I dit tilfælde er p = 2 > 1 og vil derfor divergerer.

I øvrigt kom du til at lave en fejl i en mellemregning:

                                          \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2}=\bigg[ -\frac{1}{x}\bigg]_0^1=-1+\frac{1}{x}\rightarrow \infty \quad x\rightarrow \0^+

Ja, det kan jeg da godt se, at jeg lige havde overset! Tak for lige at være opmærksom på det!


Brugbart svar (0)

Svar #13
13. september kl. 19:01 af Anders521

#11
#10

Korrektion: sidetallet bør være 528

Mange tak, jeg vil se, om jeg kan finde noget mere om det. :)

Men jeg mangler dog stadig at kunne finde ud af hvor vidt noget går mod uendelig, 0 eller noget helt 3. :')

Indtil videre har jeg blot brugt min lommeregner og sat nogle tal fra 0 til 10 ind og set hvad der sker, men er der en nemmere måde at gennemskue, hvad funktionen nærmer sig når vi lader n gå mod noget? Er det bare basic kendskab til de forskellige funktioner, der skal til?

Gerne brug din lommeregner til at undersøge. Med tal fra 0 til 10, indsæt f.eks. 10, 9.8, 9.5, 9,3, osv i x'ets plads i udtrykket 

                                                             -1+\frac{1}{x}

og hvad du vil opdage, at resultatet bliver større og større. Det bliver mere indlysende hvis du vælger tal i intervallet [0,1], hvor du starter med tallet 1.


Skriv et svar til: Uegentligt integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.