Matematik

Induktionsbevis

09. december 2021 af gavs (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal løse opgave (iv) i den vedhæftede fil. Jeg vil gerne lave beviset ved simpel induktion. Jeg har allerede udregnet determinanterne:

$D_{1}=a$

$D_{2}=a^2-b^2$

$D_{3}=a^3-2ab^2$

Ligningen er sand for n=1, idet:

$D_{n+2}=aD_{n+1}-b^2D_{n}=aD_{2}-b^2D_{1}=a(a^2-b^2)-b^2(a)=a^3-2ab^2=D_{3}$

Antag at ligningen er sand for n, altså at:

$D_{n+2}=aD_{n+1}-b^2D_{n}$

Jeg vil så vise, at den er sand for n+1:

$aD_{(n+1)+1}-b^2D_{(n+1)}=aD_{n+2}-b^2D_{n+1}=a(aD_{n+1}-b^2D_{n})-b^2D_{n+1}=a^2D_{n+1}-ab^2D_{n}-b^2D_{n+1}=(a^2-b^2)D_{n+1}-ab^2D_{n}=((a+b)(a-b))D_{n+1}-ab^2D_{n}$

Induktionsantagelsen bruges efter andet lighedstegn, men jeg sidder lidt fast her. Hvordan kommer jeg videre fra sidste udregning? Jeg skal jo komme frem til, at udtrykket er lig med:

$D_{(n+1)+2}=D_{n+3}$

Vedhæftet fil: O3.2.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. december 2021 af Soeffi

#0. Indsætter billede.

Brugbart svar (1)

Svar #2
09. december 2021 af Soeffi

#0. Jeg tror ikke, at det er sådan, at det skal gøres. Læg mærke til, at der står vis og ikke bevis. Bemærk at mønsteret fra A₃ gentager sig diagonalt nedad. For A₄ får man:

$det \begin{pmatrix} a & b & 0 &0 \\ b & a & b & 0\\ 0 & b & a & b\\ 0 &0 & b & a \end{pmatrix}=a\cdot det\begin{pmatrix} a & b & 0 \\ b & a & b \\ 0 & b & a \\ \end{pmatrix}-b^2 \cdot det\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \\ \end{pmatrix}\Leftrightarrow$

$det\left ( A_4 \right )=a\cdot det\left ( A_3 \right )-b^2 \cdot det\left ( A_2 \right )$

Dette gælder for n=2, som vist her, men det ses let, at det samme princip kan bruges uanset n.

Svar #3
09. december 2021 af gavs (Slettet)

Ok. Men det burde da vel kunne lade sig gøre at lave et stringent bevis på denne måde, men ja, det kan godt være, jeg ikke har de informationer, jeg skal bruge til det.

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. december 2021 af Soeffi

#3. Jeg mener ikke, at du kan lave et klassisk induktionsbevis, da det kræver, at du har en lukket formel, som du vil bevise gyldigheden af, og denne formel findes ikke. Du får bare et udtryk for D, der vokser for hvert n.

Svar #5
10. december 2021 af gavs (Slettet)

Ok, tak for din vurdering. Jeg har fundet ud af, at man kan vise det ønskede ved at lave Laplace-udvikling efter 1. søjle. Så opstår der nogle mønstre, som altid gentager sig uanset dimensionerne, men det var da forsøget værd med induktionen.

Skriv et svar til: Induktionsbevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.