Matematik

Matricer og determinanter

11. december 2021 af gavs (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal løse opgaverne i den vedhæftede fil. Jeg har fået determinanterne til:

$det(A_{1})=a$

$det(A_{2})=a^2-b^2$

$det(A_{3})=a^3-2ab^2$

Jeg skal så bestemme de a,b i de reelle tal, så at matricerne bliver invertible. Her har jeg fået:

$det(A_{1})\neq 0$

for

$\left \{ a\in \mathbb{R} : a\neq 0 \right \}$

$det(A_{2})\neq 0$

for

$\left \{ (a,b)\in \mathbb{R}^2 : |a|\neq |b| \right \}$

$det(A_{3})\neq 0$

for

$\left \{ (a,b)\in \mathbb{R}^2 : a^3\neq 2ab^2 \right \}$

Jeg er dog i tvivl om, hvorvidt dette er korrekt, og om jeg kan angive det mere præcist?

Jeg får rangen af matricerne for de forskellige a,b til:

$rank(A_{1})=\begin{Bmatrix} 0 for a=0\\ 1 for a\neq 0 \end{Bmatrix}$

$rank(A_{2})=\left\{\begin{matrix} 0 for a=b=0\\ 1 for |a|=|b|\\ 2 for |a|\neq |b| \end{matrix}\right.$

$rank(A_{3})=\left\{\begin{matrix} 0 for a=b=0\\ 2 for a^3=2ab^2\\ 3 for a^3\neq 2ab^2 \end{matrix}\right.$

Jeg er også lidt i tvivl om, hvorvidt dette er rigtigt?

Vedhæftet fil: Mat.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. december 2021 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. december 2021 af peter lind

A₃ invertibel kan du gøre mere præsis ved at sætte a ud foran en parantes

For A₃ kan du finde rangen, ved at se på de forskellige muligheder for at determinanten er 0

Svar #3
11. december 2021 af gavs (Slettet)

Ja, det har du da ret i!

Men hvad mener med det sidste? Det har jeg vel angivet? Svarer det ikke til, når rangen er 0 og 2? Rangen kan vist ikke være 1, som matricen er konstrueret.

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. december 2021 af peter lind

Den kan jo også være 1

Du har at determinanten er 0 for a = 0 eller a² = 2b² <=> a = ±kvrod( 2b)

Hvis du sætter a≠0 har du 3 muligheder for matricen.

Jeg har ikke set efter men jeg finder det højst usandsynlig at det medføre en rang på 1

Svar #5
11. december 2021 af gavs (Slettet)

Jeg får umiddelbart:

$rank(A_{3})=\left\{\begin{matrix} 0for a=b=0\\ 2 for a=0\vee (a\neq 0 \wedge a^2=2b^2)\\ 3 for a\neq 0\wedge a^2\neq2b^2 \end{matrix}\right.$

Jeg forstår ikke, hvordan matricen kan have rangen 1. Hvis man sætter a=0, får man:

$\begin{bmatrix} 0 & b& 0\\ b& 0 &b \\ 0 & b & 0 \end{bmatrix}$

For alle b er rangen 2. Og hvis man sætter b=0, får man:

$\begin{bmatrix} a & 0& 0\\ 0& a &0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix}$

For alle a er rangen 3. Hvis a=b=0, så er det nulmatricen, og den har jo rangen 0. Og generelt:

$\begin{bmatrix} a & b& 0\\ b& a &b \\ 0 & b & a \end{bmatrix}$

Synes jeg bare det ser ud som om, at 1. og 3. søjle altid vil være lineært uafhængige, hvis a ikke er nul. Jeg kan ikke helt få det til at give mening.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. december 2021 af peter lind

Hvad så hvis a = ±kvrod(2b²) = |b|kvrod(2) ?

Hvis du sætter ind med + får du

b√2 b 0

b b√2 b

0 b b√2

Svar #7
11. december 2021 af gavs (Slettet)

Rangen er da 3?

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. december 2021 af peter lind

Ja, men du kan ikke gå ud fra at den er det.

Svar #9
11. december 2021 af gavs (Slettet)

Kan du uddybe? Jeg er forvirret

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. december 2021 af peter lind

et simpel eksempel

Første søjle

b√2 b 0

resten af søjlerne kan indeholde 0'er eller en eller begge kan være kopier af første søjle

Svar #11
11. december 2021 af gavs (Slettet)

Jeg forstår dit eksempel, men jeg kan da ikke bare lave nulsøjler eller kopiere 1. søjle sådan, når matricen skal være på den viste tridiagonale form. Det svarer jo til, at a og b antager forskellige værdier i samme matrix?

Brugbart svar (0)

Svar #12
11. december 2021 af peter lind

nej men det skal med for at du kan udelukke den

Svar #13
12. december 2021 af gavs (Slettet)

Jeg forstår, hvor du vil hen med det. Mange tak for hjælpen.

Skriv et svar til: Matricer og determinanter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.