Normalfordeling

Hej. Jeg går ud fra at opgaven er med hjælpemidler.

a)

X ~ N(μ,σ), 

μ = middelværdien, σ = spredningen 

I det her tilfælde er den stokastiske variabel altså normalfordelt med middelværdien μ = 3 og spredningen 

σ = 2. Hvis man indsætter de to værdier i forskriften for fordelingsfunktionen for X, så burde man kunne få tegnet en graf:)

______________________________________________________________________________________

b) 

Sandsynligheden i et givet interval er lig med arealet under tæthedsfunktionen(kan findes i formelsamlingen). P(0,5≤X≤4) er lig med det bestemte integrale fra 0,5 til 4 integreret over tæthedsfunktionen.

______________________________________________________________________________________

c) 

Alt efter hvilket computerprogram du bruger, så burde man kunne bestemme P(X≤k) = 0,6 ved at sætte integralet over tæthedsfunktionen lig med 0,6 og integrere fra k til uendelig. I dette tilfælde kan man reelt set ikke integrere fra k til uendelig, da sandsynligheden er lig med arealet under grafen for tæthedsfunktionen. Jeg ville blot vælge en passende øvre grænse:)

#0 & #1

Mht. b) Brug en standardisering for sandsynligheder, dvs. P( a ≤ X ≤ b ) = Φ( ( b - μ )/σ ) - Φ( ( a - μ )/σ ), hvor Φ angiver fordelingsfunktionen for normalfordelingen  Således fås 

                   P( 0,5  ≤ X ≤ 4 ) = Φ( ( 4 - 3 )/ 2 ) - Φ( ( 0,5 - 3 )/2 )                                                                                                                         = Φ( 0,5 ) - Φ( -1,25 )                                                                                                                                             = (1 - Φ( -0,5 )) - Φ( -1,25 )                                                                                                                                   = 0,30854 - 0,10565                                                                                                                                              =  0,20289

Værdierne Φ( -0,5 )  og  Φ( -1,25 ) kan bestemmes ved tabelopslag (f.eks. Erlang S).

Mht. c) Da der ikke er tale om en diskret fordeling burde ligningen nok være P( X < k ) = 0,6. Igen ved en standardisering af sandsynligheder, P( X < a) = Φ( (a- μ)/σ), så

                                                 P( X < k) = 0,6 ⇔ Φ( (k - 3)/2) = 0,6                                                                                                                                               ⇔ (k - 3)/2 = Φ^-1(0,6)                                                                                                                                             ⇔ k = 2·Φ^-1(0,6) + 3