Matematik

kvardratisk matrix

14. november 2022 af andreaswilhemsen - Niveau: Universitet/Videregående

Nogen der kan hjælpe med dette?

Gør rede for at en kvardratisk matrix, forskellig fra identitestmatricen, bliver nødt til at indeholde en nulrække hvis den er på PREF


Brugbart svar (0)

Svar #1
14. november 2022 af oppenede

Hvad er en matrix på PREF


Brugbart svar (0)

Svar #2
14. november 2022 af SådanDa

Mener du RREF? 

I så fald skal du nok kigge på definitionen af RREF, ideen er bare at hvis du ikke sætter alle dine pivoter i diagonalen, så er der ikke plads til en pivot i alle rækker, så du må have en 0-række.

F.eks hvis vi lader A være en n x n-matrix på RREF, som ikke er identitetsmatricen, så må den have mindst én pivot som ikke findes i diagonalen, (A kunne selvfølgelig også være 0-matricen, uden nogen pivoter, men er det et problem?). Hvis vi kalder den første sådanne pivot aij så må j>i, altså vi har i-1 pivoter inden aij og højst n-j+1 efter (inklusiv) aij efter. Så i alt højst i-1+n-j+1=n+(i-j)<n pivoter. Der må altså være mindst én 0-række.

Jeg håber det giver lidt mening, men det hjælper meget lige at tegne det lidt op og overbevise sig selv om at det må passe.


Svar #3
14. november 2022 af andreaswilhemsen

#2
Mener du RREF? 

I så fald skal du nok kigge på definitionen af RREF, ideen er bare at hvis du ikke sætter alle dine pivoter i diagonalen, så er der ikke plads til en pivot i alle rækker, så du må have en 0-række.

F.eks hvis vi lader A være en n x n-matrix på RREF, som ikke er identitetsmatricen, så må den have mindst én pivot som ikke findes i diagonalen, (A kunne selvfølgelig også være 0-matricen, uden nogen pivoter, men er det et problem?). Hvis vi kalder den første sådanne pivot aij så må j>i, altså vi har i-1 pivoter inden aij og højst n-j+1 efter (inklusiv) aij efter. Så i alt højst i-1+n-j+1=n+(i-j)

Ja jeg mente RREF, kan du forklare hvordan du kommer frem til at dine beregninger? Jeg tror jeg er lidt forvirret over alle bogstaverne og tallene

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. november 2022 af SådanDa

Jeg forestiller mig det som en matrix på denne her form:

A=\begin{bmatrix} a_{1,1}&a_{1,2} &\dots & a_{1,j} &\dots &a_{1,n-1} & a_{1,n}\\ a_{2,1}&a_{2,2} & & & & & \\ \vdots& &\ddots & & & & \\ a_{i,1}& & & a_{i,j} & & & \\ \vdots& & & & \ddots& & \\ a_{n-1,1}& & & & &a_{n-1,n-1} & \\ a_{n,1}& & & & & & a_{n,n} \end{bmatrix}

Hvis den er på RREF, vil den første indgang i hver række som er forskellig fra 0 være 1 (pivoterne), hvis det er identtitetsmatricen er alle diagonalindgangenene (f.eks. a1,1, eller a7,7) 1 (altså alle pivoter er i diagonalen). Hvis vi antager at det ikke er identitesmatricen, så er der en pivot (den kan også slet ikke have nogen pivoter, men så har den i hvert fald en 0-række) som ikke lægger i diagonalen. Men sådan en indgang kan ikke ligge i den nedre trekant uder diagonalen, det er sådan RREF er defineret (se din definition). Det vil altså sige at den første pivot, som ikke er på diagonalen, her kaldet ai,j ligger i trekanten over diagonalen, med andre ord er j>i, det kunne f.eks. være a4,5. I og med at den ligger i 4. række kan der højest have været 3 pivoter forinden (igen kig på definitionen af RREF). Mere generelt kan der højest have været i-1 pivoter forinden. Ligeledes kan der også højest være n-j pivoter efterfølgende. Igen hvis eksemplet fra før var en 7x7-matrix, med en pivot i a4,5, kan der efterfølgende kun være en pivot i søjle 6 og 7, altså 7-5=2. Så når man også tæller a4,5 med, kan der højst være 3+1+2=6 pivoter. Så der må være mindst en række uden en pivot, altså er det en 0-række. Og mere generelt i-1+n-j+1=n+i-j<n pivoter.


Brugbart svar (0)

Svar #5
20. november 2022 af sarabatta778

#0

Nogen der kan hjælpe med dette?

Gør rede for at en kvardratisk matrix, forskellig fra identitestmatricen, bliver nødt til at indeholde en nulrække hvis den er på PREF

fandt du frem til svaret? kan du evigt komme med svaret:)


Svar #6
20. november 2022 af andreaswilhemsen

#5
#0

Jeg benyttede mig af hjælpen som tidligere kommentar kom med

Skriv et svar til: kvardratisk matrix

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.