Matematik

Kombinatorik

21. marts 2023 af TheMathPortal - Niveau: B-niveau

Opgave 7.18 (MAT AB2)

(a) Hvor mange "ord" (dvs. rækkefølger) på fire bogstaver kan der dannes med de 5 bogstaver a, b, c, d og e?

(b) Hvor mange ord på fire bogstaver kan der dannes med de 5 bogstaver a, b, c, d, og e, når hvert bogstav højst må optræde en gang?

(c) Hvor mange ord på to, tre eller fire bogstaver kan der dannes med de 5 bogstaver a, b, c, d, og e?

Mit bud:

(a) Jeg går ud fra, at er rækkefølgen af bogstaverne har betydning. Det første bogstav kan frit vælges blandt alle fem bogstaver, det andet bogstav kan frit vælges blandt de fire bogstaver, der endnu ikke er brugt, det tredje bogstav kan frit vælges blandt de to bogstaver, der endnu ikke er brugt, osv. Ifølge multiplikationsprincippet, er der 5·4·3·2 = 120 forskellige ord. Hvis rækkefølgen af bogstaverne ikke har betydning, hvordan beregner man det?


Brugbart svar (1)

Svar #1
21. marts 2023 af ringstedLC

a) Rækkefølgen har betydning, men hvert bogstav må gerne bruges igen. Så det første bogstav kan frit vælges blandt alle fem bogstaver, det kan de andre også. Stikprøven er altså "Ordnet med tilbagelægning":

\begin{align*} \textup{"ord"} &= 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^4 \end{align*}

b) er så "ordnet uden. tilbagelægning"


Brugbart svar (1)

Svar #2
21. marts 2023 af PeterValberg

#0

Se eventuelt < LINK >

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)


Svar #3
31. marts 2023 af TheMathPortal

#1     OK. Det er fordi, jeg tog definitionen af "ord" bogstaveligt, så troede jeg, at gentagelser af bogstaver ikke var tilladt. Hvad gør jeg med (c)? Jeg tænker, svaret er

P(5,2) + P(5,3) + P(5,4) = 200

jf. additionsprincippet.

#2     Fed video!


Brugbart svar (1)

Svar #4
31. marts 2023 af ringstedLC

To tip til betydningen af "ord" (dvs. rækkefølger):

- At det står i anførselstegn med en efterfølgende og uddybende forklaring.

- ved smuglæsning af b) vil man indse, at a) må være med tilbagelægning, da opgaverne ellers ville være ens.


Brugbart svar (1)

Svar #5
31. marts 2023 af ringstedLC

c) Additionsprincippet ja, men permutation gælder for "uden tilbagelægning". Se at der alene ved 4-bogstavsord bliver 625 muligheder og brug igen "ordnet stikprøve m. tilbagelægning".


Svar #6
02. april 2023 af TheMathPortal

Tak for tippet. Er det så 52 + 53 + 5= 775? Burde det ikke være mindre end 625?


Brugbart svar (1)

Svar #7
02. april 2023 af ringstedLC

Det må være rigtigt.

Resultatet må være større end 625 fordi der også må dannes "ord" med to og tre bogstaver.


Svar #8
04. april 2023 af TheMathPortal

#7

Jeg tror, jeg er med nu. Grunden til, jeg var i tvivl, var fordi den maksimale antal muligheder om de "ord" opstilling med fire bogstaver man kunne få, var 625. Derfor, gav det ikke nogen mening at få antal muligeder, der var større end 625. Men, i det her tilfælde, handlede opgaven vist om at OGSÅ betragte to andre valgsituationer om "ord" opstillinger, hvor den ene drejede sig om to bogstaver mens den anden om tre bogstaver. Disse valgsituationer havde ikke noget med den originale situation at gøre, derfor kan de alle antal muligheder adderes. Er min forståelse korrekt?


Brugbart svar (0)

Svar #9
04. april 2023 af ringstedLC

Ja, det tror jeg.


Skriv et svar til: Kombinatorik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.