Matematik

Projektopgave

21. april 2023 af cecilie1606 - Niveau: A-niveau

Hej

Er der nogle som kan hjælpe mig med opgave 3 og 4?

Jeg har løst opgave 1 og 2 (se vedhæftet billede for opgaven samt mine løsninger)

På forhånd tak for hjælpen.

Vedhæftet fil: Del B.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. april 2023 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. april 2023 af peter lind

Find koncentrationen y1 med 10 kg salt. Løs derefter ligningen y(t) = y1

Hvad er grænseværdien af y(t) for t->≈

Svar #3
22. april 2023 af cecilie1606

#2
Find koncentrationen y1 med 10 kg salt. Løs derefter ligningen y(t) = y1

Hvad er grænseværdien af y(t) for t->≈

Beklager, men jeg er ikke helt med.

Svar #4
22. april 2023 af cecilie1606

Er det sådan her opgave 3 skal løses? Er det rigtigt forstået?

Vedhæftet fil:Opgave 3.png

Svar #5
22. april 2023 af cecilie1606

Og er opgave 4 rigtig forstået?

Vedhæftet fil:Opgave 4.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. april 2023 af M2023

#0.

a) Saltvandet i tanken har volumenet 500 L, og der er 20.000 g salt i tanken fra starten. Tankens indhold af
salt i gram kaldes y(t), hvor t er tiden i minutter. Man har balancen for salt:

Ind i tidsrummet dt: (15 g/L)·(5 L/min)·dt = (75 g/min)·dt

Ud i tidsrummet dt: [y(t)/(500 L)]·(5 L/min)·dt = (0,01·y(t)/min)·dt

dy(t) = Ind - Ud = (75 g/min)·dt - (0,01·y(t)/min)·dt = (75 g/min - 0,01·y(t)/min)·dt ⇒

dy(t)/dt = 75 g/min - 0,01·y(t)/min

Man skal trække Ud fra Ind, da Ind giver et positiv bidrag til saltmængden og Ud giver et negativt. Man
løser differentialigningen:

dy/dt = 75 - 0,01·y ⇔

[1/(75 - 0,01·y)]·dy = dt ⇔

[-100/(y - 7500)]·dy = dt ⇔

ln(y - 7500) = -0,01·t + C₁ ⇔

y - 7500 = C₂·e^-0,01·t ⇔

y = C₂·exp^-0,01·t + 7500

y(0) = 20.000 ⇒ C₂ + 7500 = 20.000 ⇔ C₂ = 12.500

y(t) = 12.500·exp^-0,01·t+ 7500

b) Man skal løse y(t) = 10.000 med hensyn til t. Det giver t = 160,9 minutter = 2,68 timer.

c) y(t → ∞) = 7500 g

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. april 2023 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. april 2023 af ringstedLC

Opg. 1 + 2:

$\begin{align*} \textup{Del\,1} &:\qquad\qquad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} &&= -0.01y= -a\,y\;,\;\bigl(t_0,y(t_0)\bigr)=(0,20) \\\textup{Del\,2}&: \\ \textup{Till\o b af salt} &:\qquad\quad\;\;\; z(t) &&= 5\cdot 0.015\,t \\ &\qquad\qquad\quad \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} &&= 0.075=b \\ & \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} &&= b-a\,y \\ &\qquad\qquad\;\; v(t) &&= \frac{b}{a}+c\cdot e^{-a\,t} \\ &\qquad\qquad\;\; v(t) &&= (...) \end{align*}$

Din funktion i #1 er blot en mere aftagende eksponential funktion end den i del 1. Løsningen skal være en forskudt aftagende eksp.-funktion.

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. april 2023 af ringstedLC

Opg. 3: Især når det er svært at vurdere sit resultat, er det en god idé at tegne sin(e) funktioner.

I "del 1" nås 10 kg efter en god times tid. Det giver et gennemsnit på 0.144 kg / min.

$\begin{align*} m_1(t) &= c\cdot e^{-k\,t} \\&= c\cdot \left (e^{-k} \right )^t \\ \frac{m_1(t_0)}{m_1(0)} &= \frac{10}{20}=\frac{1}{2} &&\Rightarrow t_0=T_\textup{1/2} \\ t_0 &=\frac{\ln \left (\tfrac{1}{2} \right )}{\ln(a)}=\frac{\ln \left (\tfrac{1}{2} \right )}{\ln\bigl(e^{\,-k}\bigr)} \\ t_0 &= \frac{-\ln(2)}{-k}=\frac{\ln(2)}{k}\approx69\,(\textup{min.}) \end{align*}$

I flg. dit resultat for "del 2" skulle det tage 126 timer at nå 10 kg blot fordi der tilsættes 0.075 kg / min., altså knap det halve af værdien for "del 1":

$\begin{align*} m_2(t) &= \tfrac{b}{a}+c\cdot e^{-k\,t} \\ &= d+c\cdot \left (e^{-k} \right )^t \\ \frac{m_2(t_0)-d}{c} &= \left (e^{-k} \right )^{t_0} \\ t_0 &= \frac{\ln\left (\frac{m_2(t_0)\,-\,d}{b} \right )}{-k} \\ t_0 &= \frac{\ln\left (\frac{2.5}{12.5}\right )}{-0.01}\approx 161\,(\textup{min.}) \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. april 2023 af ringstedLC

Opg. 4: y(t) er mængde salt. t er tid, - ikke en mængde salt.

$\begin{align*} m_2(t) &= \tfrac{b}{a}+c\cdot e^{-k\,t} \\ \textup{Gr\ae nsev\ae rdi}: \lim_{\,t\, \to\, \infty}m_2(t) &= \tfrac{b}{a}+c\cdot \underset{\to\,0}{\underbrace{e^{-k\,t}}}=\tfrac{b}{a}\,(\textup{kg}) \end{align*}$

Grænseværdien er altså forskydningen. Det passer også med:

$\begin{align*} m_1(t) &= 0+c\cdot e^{-k\,t} \\ \textup{Gr\ae nsev\ae rdi}: \lim_{\,t\, \to\, \infty}m_1(t) &= 0+c\cdot \underset{\to\,0}{\underbrace{e^{-k\,t}}}=0\,(\textup{kg}) \end{align*}$

Skriv et svar til: Projektopgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.