Matematik

Matematik A, HTX: Differentialligninger

12. april 2009 af Anyone (Slettet)

Hej kloge hoveder (og alle I andre)!

Min ondsindede matematiklærer har besluttet sig for, at vi skal udarbede et skriftligt projekt i differentialligninger (hvilket er lidt absurd, da vi ikke kan komme op i differentialligninger til skriftlig eksamen). Jeg har lige læse hele kapitlet i bogen (MAT A HTX, Klaus Marthinus) igennem igen, og jeg forstår stadig intet af emnet. Opgaverne er som følger:

Et lod ophængt i en fjeder er påvirket af tyngdekraften og fjederkraften. Tyngdekraften F_t=m·g og fjederkraften F_f=-k·x. Her er m loddets masse, g tyngdeaccelerationen, k fjederkonstanten og x forlængelsen af fjederen fra ligevægtsstillingen. Ifølge Newtons 2 lov er den resulterende kraft F_res=m·a. Her er a accelerationen i bevægelsen.

1) Opskriv differentialligningen for situationen symbolsk ved at benytte at a=(d^2 x)/(dt^2 ). Her er t tiden.
2) Løs differentialligningen ved at antage passende begyndelsesværdi betingelser. Herunder antages at m=1 kg,g=9,82N/kg,k=10N/m.
3) Beskriv bevægelsen af systemet og bestem svingningstiden for systemet.
4) Hvilken betydning har m og k for bevægelsen? Prøv at ændre på m og k hver for sig og beskriv betydningen.

I et realistisk fjedersystem vil der være dæmpning. Indfør denne i din differentialligning ved at benytte F_d= ?-k?_d·v. Her er k_d dæmpningskonstanten og v er hastigheden i bevægelsen.


5) Opskriv på ny differentialligningen for situationen ved at benytte at v=dx/dt.
6) Løs differentialligningen ved at antage at k_d=0,1 kg/s.
7) Beskriv bevægelsen af systemet, bestem svingningstiden og sammenlign med ovenfor.
8) Hvilken betydning har k_d for bevægelsen? Prøv at ændre k_d og beskriv hvordan løsningen ændrer sig.

Hvis fjedersystemet udsættes for en periodisk kraft F_p=A·cos?(2·p·f·t) vil bevægelsen af systemet påvirkes af dette. Her er A kraftens amplitude og f er frekvensen for den periodiske kraft.

9) Opskriv differentialligningen for situationen.
10) Løs differentialligningen ved at antage at A=5 N,f=5 Hz og at både start hastigheden og positionen for svingningen er 0.
11) Beskriv bevægelsen af systemet.
12) Prøv at ændre frekvensen for den periodiske kraft og lad den nærme sig egenfrekvensen for systemet. Beskriv hvad der sker.

Jeg har absolut INGEN idé om, hvordan jeg skal løse nogen af opgaverne, så enhver hjælp vil blive værdsat!

Mange tak.

Krainert


Brugbart svar (1)

Svar #1
12. april 2009 af peter lind

Her er en start

Den resulterende kraft på loddet er -kx. Af Newtons anden lov fås så ma = mdx2/dt2=-kx


Svar #2
12. april 2009 af Anyone (Slettet)

Tak... Selvom de fysikrelaterede principper er opgivet i bogen, så det mere er det matematiske, der giver problemer.


Brugbart svar (0)

Svar #3
12. april 2009 af kieslich

Her er lidt mere starthjælp:

1) F_res = F_t + F_f  <=> ma = mg - kx  <=>  a = g - (k/m)*x <=> (d2x/dt2) = g - (k/m)*x

2) TI says: x(t) = c1*cos(√(10)*t) + c2*sin(√(10)*t) + 491/500

3) betragt ovenstående.


Svar #4
12. april 2009 af Anyone (Slettet)

Tak :) Jeg kigger lige på det.


Skriv et svar til: Matematik A, HTX: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.