Matematik

Taylor polynomier og Taylors fejlformel En(x)

20. november 2014 af Gamletrold (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.

Jeg håber der er en venlig sjæl som kan hjælpe mig med en aflevering jeg har fået tilbage, da jeg ikke har lavet den korrekt.
Opgaven er vedhæftet her. Jeg har klaret det meste af den, det eneste jeg skal er at vise at:

l sin(1/10 - 1/10 l $\leq$ 1/6000

Håber virkelig der er mulighed for hjælp, da jeg er på gråden rand.

Mvh

Gamletrold

Svar #1
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Opgaven er vedhæftet.

Svar #2
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Okay, kan tilsyneladene ikke vedhæfte opgaver?

Svar #3
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

.Så skete der noget.

Vedhæftet fil:Studieportalen.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Opgaven har cirkuleret i flere tråde inden for de sidste 2-3 uger. Man skal bestemme Taylorpolynomiet P₂(x) af grad 2 for sin(x) udviklet ud fra x = 0 og derefter vurdere fejlen, der begås ved at approksimere sin(1/10) med P₂(1/10) .

Bestem Taylorpolynomiet ved at beregne de afledede af sin(x) i x = 0 , og benyt så restleddet til at foretage vurderingen af fejlen.

Svar #5
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

f(x) = sin( x)

$P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$

$P_{2}(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2}(x-0)^2=x$

$0\leq s\leq \frac{1}{6000}$

$\left | E_{2(\frac{1}{6000})} \right |\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{6000}-0)^3 \approx 7,71*10^{-13}$

Svar #6
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Er jeg på rette spor??

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ja, til dels. Beregn f(0), f'(0) og f''(0) og indsæt i polynomiet.

Man har for restleddet

E₂(x) = f'''(s)/3! · (x -a)³ ,

hvor a < s < x . Her er a = 0 , og x = 1/10 , og man skal så vurdere |f'''(s)| på intervallet [0;1/10] .

Svar #8
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Okay, Mange tak for hjælpen andersen11

, jeg arbejder videre.

Svar #9
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Kan de passse at f'''(s)=1

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej. Det er en ikke-konstant funktion af s.

Svar #11
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Så ved jeg ikke hvordan jeg regner f'''(s)

f'(sin(x))=cos(x)

f''(sin(x))=-sin(x)

f''(sin(x))=-cos(x)

Brugbart svar (0)

Svar #12
20. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Det er ikke f'(sin(x)) osv, men f '(x) , f ''(x) og f '''(x), der skal beregnes .

        f(x) = sin(x)
        f '(x) = cos(x)
        f ''(x) = -sin(x)
        f '''(x) = -cos(x) .

Lav nu en vurdering af |-cos(s)| .

Svar #13
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Får:

$\left | E_{2}(\frac{1}{10}) \right |\leq \frac{-cos(\frac{1}{10})}{6}*\left ( \frac{1}{10} \right )^{3}\approx 0,00016583$

Brugbart svar (0)

Svar #14
20. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#13

Nej, det er nu ikke korrekt. Man har

|E₂(1/10)| = |-cos(s)/3! ·(1/10 - 0)³| ≤ (1/6) · (1/10)³ = 1/6000

Svar #15
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Hvordan kommer jeg så videre herfra?

Svar #16
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Nåååå!

$0 \leq 1/6000 \leq 1/10$

Svar #17
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Nej, forstår det stadig ikke, for

Jeg skulle jo vise at

$sin(\frac{1}{10})-\frac{1}{10}\leq \frac{1}{6000}$

Svar #18
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Hvilket det jo tydeligvis er når man regner på det?

Brugbart svar (0)

Svar #19
20. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#17

Man viser, at

|E₂(1/10)| = |sin(1/10) - P₂(1/10)| ≤ 1/6000

og du har sikkert allerede vist, at P₂(x) = x . Derfor er

|sin(1/10) - (1/10)| ≤ 1/6000

Svar #20
20. november 2014 af Gamletrold (Slettet)

Mange tusinde tak for hælpen Andersen11,

Det var meget lærerigt! - Fortsat god aften, og tak for den hurtige respons!

Gamletrold

Skriv et svar til: Taylor polynomier og Taylors fejlformel En(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.