Side 2 - Fra komplekst udtryk til reelt

#20: Jeg er allerede faldet i søvn under din gennemgang af hvordan man regner med Laplacetransformerede i et "virkelighedsnært" projekt . ( Her ved en dc-motor). Det gør ikke noget, jeg kan det i søvne, jeg har erhversmæssigt beskæftiget mig intensivt med det i henved 30 år. ( Se evt. min profil ).

Ad: Her render du end i en vanskelighed fordi højre side allerede indholder s. Det giver en flertydighed. 

Nej, for det jo så kun venstresiden, der skal Laplacetransformeres.

Ad: Det giver y' = s*y

Det er "flertydigt".  Det skrives korrekt:  L( y'(t) ) = s*y(s).

Endelig: Nej, man plejer ikke at lave en invers Laplacetransformation, for hvad skulle man bruge den til, når rodkurver tegnet ud fra den Laplacetransformerede af systemet fortæller alt om stabilitetsgrænser for fx last, dæmpningsfaktor, oversving, egensvingningsfrekvens, osv. ( Prøv en gang at læse videre i projektet om "asymptotisk stabilitet" mv. )

Sov selv.

Ad højre side: Se eksemplerne i din bog side 82. De eksempler kan du også bruge til det nedenstående

y = H(s)*e^st  y' = (H(s)*e^st) ' = H(s)*(e^st)' = H(s)*s*e^st = s*y

Du går igen ud fra regler  for Laplacetransformationer, og det er ikke relevant, når det ikke drejer sig om Laplacetransformationer.

L(y'(t)) = s*L(y(t)) - y(0)

Hvis du løser ligningen for H(s) får du

H(s) = (s³+(α+β)s²+(1+α*β)*s )^-1 hvilket ikke har noget med Laplacetransformationer i den aktuelle sag at gøre.

Ad det sidste. Det er løsningen til differentialligningen, der spørges efter. For at få den skal man foretage den inverse Laplacetransformation

#22:  Du bør skrive, hvem du henvender dig til:  #0  eller  #21 ?

Beklager Det er til #21. Jeg troede det fremgik klart nok af indholdet. Trådstarteren kender formodentlig ikke noget til Laplacetransformationer

#24:  Det fremgår ikke helt klart, for du skriver bl.a.: Se eksemplerne i din bog side 82.

Du kan vel ikke vide hvilke(n) bog/bøger jeg har.

Jeg har ingen kommentarer til #22, udover:

H(s) = (s³+(α+β)s²+(1+α*β)*s )^-1 hvilket ikke har noget med Laplacetransformationer i den aktuelle sag at gøre.

Det har det da. Både venstre- og højreside fremstår ved deres Laplacetransformerede. Lad os nu kalde en skovl/spade for en skovl/spade.

#0,#24:  Nåååh, nu går det op for mig, hvor dette besynderlige " e^st " kommer fra:  Det kommer fra definitionen af Laplacetransformation af en funktion u(t) ved:

L( u(t) ) = ₀∫^∞ e^-st * u(t) dt.

Det var den definition, og vi må videre med at anvende Laplace transformation som værktøj:

Man har så:  y(s) = H(s) * u(s)

Påvirkningen u(t) = sin(t)   =>   u(s) =  1 / (s²+1)     ( kilde: Scaum )     =>

y(s) = H(s) / (s² + 1)

Altså:  Det er jo noget rod, at blande definitionsudtryk ind i de praktiske beregninger.

I #15 skriver du at du har Schaums håndbog. Jeg havde desværre glemt det med håndbog og gået ud fra at det var deres bog om laplacetransformationer.  Hvis du vil have bogen kan du hente den i pdf format på http://bookzz.org/s/?q=spiegel%3A+laplace+transformations&t=0

Prøv at finde den inverse til H(s). Alternativt kan du slå op i din bog for d transformerede af sinus(t) og cos(t). Det er henholdsvis 1(s²+1) og s/(s²+1). Linearkombinationer af de funktioner kan aldrig blive noget i retning af H(s)

#27:   Ad:  Linearkombinationer af de funktioner kan aldrig blive noget i retning af H(s).

Det skal de heller ikke blive, for H(s) har i sig selv intet kendskab til disse cos- / sin-funktioner, men når du fx påtrykker en sin-funktion ved:

y(s) = H(s) / ( s²+1)

. . . så kan du genfinde denne sin-funktion i form af  en sin/cos funktion, eller kombinationer heraf, ved dekomponering af  y(s).  Du skal påtrykke u(s) førend du kan "se den" i y(s). Hvis du kan finde den i H(s) er du vist langt henne i noget kvanteteori.

H(s) kan jo ikke vide, hvilken slags funktion du agter at påtrykke.

Hvis det var en laplacetransform af løsningen ville den kende til hvilken løsning, der er tænkt på. H(s) er netop beregnet for den påtrykte løsning

#29:  H(s) er netop beregnet for den påtrykte løsning

Nej den er da ej. Jeg har i #11 vist hvordan man beregner H(s) uden kendskab til  u(t) eller u(s).

H(s) er en overføringsfunktion, som du kan påtrykke parabler, trekant- og firkant-kurver, whatever. Responsen, y(s), vil naturligvis reagere herefter, men H(s) forbliver H(s).

Jeg ved ikke hvad du tænker på: Man kan da ikke lave en dc-motor, med dennes overføringsfunktion, der er beregnet for at blive påvirket af en sin-funktion, og kan kun køre med denne (incl. dennes frekvens), og ikke med andre påvirkningfunktioner. Du kan i hvert fald ikke sælge den til en bred kundekreds.

Det svarer jo til at du har en forskrift:  f(x) = 2x, der kun gælder for x = 1,5.

#11 kræver en masse kendskab til motoren som ikke haves og den er sikkert også lavet ud fra nogle forudsætninger som muligvis ikke holder. Jeg kan ikke bruge #11 til noget

Du skriver til slut at du aldrig har forstået matematikers indgang til Laplacetransformationer. Det har du altså brug for hvis du skal bruge den til at løse differentialligninger.

Hvis du har en differentialligning med konstante koefficienter alt så

y''(t) +a*y'(t)+b*y(t) = u(t)  vil en laplacetransformation på begge sider af lighedstegnet give

L(y''(t)) + a*L(y'(t)) + b*L(y) = L(u(t)

På venstre side indsætter bruger man reglerne for Laplacetransformation af de afledede og får et udtryk i g(s) (Laplacetransformationen af y) og s. På højre side får man en funktion af s. Ligningen bruger man så til at finde g(s). Derefter  finder man så den inverse transformation af g(s) og man har løsningen til ligningen

#31:  Man skal kende motorens værdier for L, R, J, K_m .  Disse måles/beregnes, eller for egentlige servomotorer ( anvendes til robotter ) står værdierne angivet i databladet. Anvendes en computer til regulering, påtrykker man en kendt u(t), og måler y(t), (dataopsamling). Egnet programmel i computeren beregner så efterfølgende motorens overføringsfunktion ( ved dens z-transformerede), med/uden last, i løbet af et ms eller to.

I denne opgave er motorværdier ikke kendte, derfor brug af variabelnavne i H(s) i  #11.

Angående matematikeres tilgang, tænker jeg især på forudsætninger, som at s≠1, fordi der i beregningerne optræder en brøk som  " 1 / ( s - 1 ) ".  I praksis, hvor kombinationen af en motor og regululator munder ud i et 7. ordens system, gad jeg godt se den matematiker, der undervejs i beregningerne tog højde for, hvilke værdier s må have og hvilke ikke. Det er jo umuligt at have med at gøre, når man nu skal parametrere en regulator på 15 min. Heldigvis er det sådan i praksis, (regel 1), at en rod kun befinder sig i en pol, når forstærkningen = 0. Regel 2: Rodkurver krydser aldrig hinanden, heller ikke sig selv. Så glem alle disse matematiske forudsætninger.

Nu begynder du igen en kedsommelig gennemgang af regneregler. Jeg kender dem gennem mine tidligere nævnte 30 års erhvervserfaring. Enten anvender jeg dem (på rygmarven), eller jeg har lært at omgå dem, hvis de irriterer mig.

Du sidder fast stivnet i at det har noget med Laplacetransformationer at gøre. Jeg kan ikke finde på nogen anden måde at få dig ud af den tro end ved at

1  Se #6 hvor overførselfunktionen er defineret

2. løs spørgsmål 2 og 3 i opgave 1.2

#33:  Du kan læse kapitel 1.4 og 1.5 i miniprojektet, der redegør for opstilling af den matematiske model. Projektets redegørelse er jo noget mere omstændelig end min i #11. Heldigvis er det ikke altid kvantiteten, der er afgørende. Projektet har kogt antallet af parametre ned til to, mens jeg koger det ned til fire. Men så har projektet jo heller en udspecificeret forstærkning, dæmpningsfaktor og egensvingningsfrekvens med i modellen.

Jeg har løst 1.2-2 i  #11.

Hvis du selv foretager en invers transformation af:  y(s) = H(s)/(s²+1) i #26, er den også løst. Jeg gider ikke, for så skriger du: 

                               Det har ikke noget med Laplacetransformation at gøre ! !

Så kan du få det på en anden måde, som jeg godt nok har nævnt tidligere.

Det drejer sig om løsningen af differentialligningen ikke om motoren