Matematik

Differentialligning, fuldstændig løsning og graf, Vejen til Matematik A2, Opgave 308, Side 244, ( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

07. januar kl. 14:35 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 308

Bestem for hver af nedenstående differentialligninger først den fuldstændige løsning og derefter, hvis graf går gennem det angivne punkt.

y ' = x / ( x² - 2 ) Punktet ( √3 , 4 )

Mit forsøg drejer sig om opgave c.:

∫ y ' dy = ∫ x / ( x² - 2 ) dx

y = ∫ x / ( x² - 2 ) dx

På højre side af ligheds tegnet ville jeg umiddelbart mener at man skulle foretage integration ved substition således at:

t = x² - 2 , men så er problemet, i tælleren står der x, og i nævneren står t også for blandes x og t sammen i brøkken.

Så jeg er gået i stå.

Mit spørgsmål er, hvordan skal man foretage integration af højre side af lighedstegnet:

y = ∫ x / ( x² - 2 ) dx

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. januar kl. 14:46 af peter lind

Valget af substitutionen er korrekt. Du får så at dt = 2xdx

Brugbart svar (1)

Svar #2
07. januar kl. 15:17 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}&& t=x^2-2\\\\&& \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=2x\\\\&& x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d} t\\\\\\&& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{x}{x^2-2}\qquad x\neq \sqrt{2}\\\\&& \int\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\mathrm{d} x=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\mathrm{d}u\\\\&& \int\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\cdot \int\frac{1}{u}\mathrm{d}u\\\\\\&& y=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | u \right | \right )+C\\\\\textup{Fuldst\ae ndige l\o sning:}&& y=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | x^2-2 \right | \right )+C\\\\\\\textup{Partikul\ae re l\o sning:}&&4=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | \left (\sqrt{3} \right )^2-2 \right | \right )+C\\\\&& 4=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | 3-2 \right | \right )+C\\\\&& 4=\frac{1}{2}\cdot \ln(1)+C\\\\&& 4=\frac{1}{2}\cdot 0+C\\\\&&C=4\\\\\\&& y=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | x^2-2 \right | \right )+4 \end{}$

Svar #3
07. januar kl. 17:12 af ca10

Tak for svaret.

Til Svar #2, af mathon

Jeg er med på følgende

Substituerer t: t = x² - 2

Differentierer t: dt / dx = 2x

x dx = ( 1 / 2 ) dt

dy / dx = x / ( x² - 2 )

Men din udregning forstår jeg ikke:

∫ ( dy / dx) dx = ( 1 / 2 ) • ∫ ( 1 / u ) du , x dx = ( 1 / 2 ) dt

∫ dy = ( 1 / 2 ) • ∫ ( 1 / u ) du

At gange med dx i tælleren og der står dx i nævneren så står der dy, men det undre mig at du på venstre side kun ganger med dx, hvad er der blevet af xdx ?

På højre side af lighedstegnet står der

( 1 / 2 ) • ∫ ( 1 / u ) du, hvad er der blevet af x i tælleren og nu forsvinder dt og nu optrædder tallet u i nævneren og i tælleren står tallet 1 ?

Mit spørgsmål er, kan ikke lave nogle mellemregninger så jeg følge din udregning?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. januar kl. 17:21 af mathon

Det er fordi jeg plejer at bruge u i stedet for t, hvorfor jeg har fået blandet dem!

$\small \small \begin{array}{llllll}&& t=x^2-2\\\\&& \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=2x\\\\&& x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d} t\\\\\\&& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{x}{x^2-2}\qquad x\neq \sqrt{2}\\\\&& \int\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\mathrm{d} x=\frac{1}{2}\int\frac{1}{t}\mathrm{d}t\\\\&& \int\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\cdot \int\frac{1}{t}\mathrm{d}t\\\\\\&& y=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | t \right | \right )+C\\\\\textup{Fuldst\ae ndige l\o sning:}&& y=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | x^2-2 \right | \right )+C\\\\\\\textup{Partikul\ae re l\o sning:}&&4=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | \left (\sqrt{3} \right )^2-2 \right | \right )+C\\\\&& 4=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | 3-2 \right | \right )+C\\\\&& 4=\frac{1}{2}\cdot \ln(1)+C\\\\&& 4=\frac{1}{2}\cdot 0+C\\\\&&C=4\\\\\\&& y=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | x^2-2 \right | \right )+4 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. januar kl. 17:24 af mathon

$\small x\mathrm{d} x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t$

Brugbart svar (1)

Svar #6
07. januar kl. 17:37 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \mathbf{\#3}\\&& \int \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\mathrm{d}x=\int \frac{x}{x^2-2}\mathrm{d}x\\\\&&\int\mathrm{d}y=\int \frac{1}{x^2-2}\cdot x\mathrm{d}x\\\\&&\int\mathrm{d}y=\int \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}t\\\\&& y=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{1}{t}\mathrm{d}t\\\\&& y=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | t \right | \right )+C\\\\\\&& y=\frac{1}{2}\cdot \ln\left ( \left | x^2-2 \right | \right )+C\qquad \left ( \textup{efter tilbagesubstitution} \right ) \end{}$

Svar #7
08. januar kl. 07:43 af ca10

Tak for svaret

Nu kan jeg se det.

Skriv et svar til: Differentialligning, fuldstændig løsning og graf, Vejen til Matematik A2, Opgave 308, Side 244, ( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.