Differentialligning, forskrift og definitionsmængde Vejen til Matematik A2, Opgave 311, Side 244, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Vi har

Integrér på begge sider og få konstanten med.
Kvadreringen må først foretages efter integrationen.

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Til Svar # 1, SuneChr

dy /dx = ( 2 • √y ) / x

(1 / (2 √y ) dy = (1 / x ) dx

Jeg prøver at integrere:

∫ 1 / (2 √ (y) dy             =  ∫ (1 / x ) dx + c 

( 1 / 2 ) ∫ 1 / √ ( y )dy    =  ln ( x ) + c

( 1 / 2 ) ∫ 1 • y ^{-1 /2} dy      =  ln ( x ) + c

Integration på højre side af lighedstegnet ser rigtigt ud.

Mit spørgsmål er, hvordan foretages integrationen på venstre side af lighedstegnet, da min omskrivning ikke ser rigtig ud ?.

På forhånd tak

Vi har

så venstresiden (# 3) er let at integrere. Lad derfor vær' med at sætte ¹/₂ udenfor integraltegnet.

Til Svar # 4 suneChr

∫ 1 / (2 √ (y) dy             =  ∫ (1 / x ) dx + c    (og så at  ( √x )' = 1 /  ( 2 √x )

 √ ( y )                         = ln ( x ) + c

( √ ( y ) )²                        =  ( ln ( x ) + c )² 

      y                                =  ( ln ( x ) + c )² 

Bestemmer konstanten c og vi har Punktet  P ( 1 , 16 )

16   = ( ln ( 1) + c )²

16 = 0 + c²

c² =   16

√ ( c )² )   = √ 16 

c = 4

som indsættes i  y =  ( ln ( x ) + c )² 

y = ( ln (( x ) + 4 )² 

Det samme som facitlisten

Jeg forsøger at bestemme definitionsmængde Dm

I vejen til Matematik A2 omtales ikke hvordan man bestemmer definitionsmængden.

Fra "Matematik Hf-Tilvalg Ib Axelsen, Lis Bøtther og Hans Jørgen Schrøder) side 186 står der:

Definition

Den omvendte funktion til den naturlige eksponentialfunktionexp kaldes den naturlige logaritmefunktion og betegnes ln,

Dm ( ln ) = R₊     og Vm (ln ) R

e^x    og    ln ( x )  er hinanden omvendte funktioner

e^{ln ( x )}  x ,    x ∈ R₊ 

Og 

ln ( e^x ) = x,   x ∈  R

Jeg prøver at lave et støttepunktskema:

Støttepunktskema for e^{(ln (x ) + 4) ?} 

 x |               |        0        |     1   |      2    |     3   |    ≈

-----------------------------------------------------------------------------
e(^{(ln (x ) + 4)} |  Underdef   | e¹⁶  |    2e⁴   |  3 e⁴ |    ≈ 

Af støttepunktskemaet kan man se at når x → ∞ går ( ln (( x ) + 4 )  → ∞

Jeg kan godt se at der er noget galt med min måde at bestemme definitionsmængden DM på, da

ifølge facitlisten er Dm = ] e^-4 , ∞ [.

Mit spørgsmål er, da min måde at bestemme definitionsmængden er forkert, hvordan bestmmer man så definitionsmængden ?

På forhånd tak

Dm = 

Funktionen
y = (4 + ln x)²
er defineret for alle x > 0.
Værdimængden er alle y ≥ 0
med minimum for x = ¹/e⁴
x              0                       ¹/_e⁴
                o--------------------|----------------------→
y                           +           0              +
 

Tak for svaret

Funktionen
y = (4 + ln x)²
er defineret for alle x > 0.
Værdimængden er alle y ≥ 0
med minimum for x = 1/e4

I tabel 1 i TI-89 kan man se at x > 0, for x 0 = 0 er funktionen underdefineret

I tabel 2 der er tabel for tangenten y = 8x + 8  til funktionen y = (4 + ln x)² dens værdimængde er alle y ≥ 0.

Jeg har prøvet at bestemme definitionsmængden således:

y = (4 + ln x)²      y ≥ 0.

0 = (4 + ln x)²

√0 = √( (4 + ln x)² )

0 = 4 + ln x

- 4 = ln ( x )

e ^-4 = e ^{ln( x )}

e ^{-  4} = x

1 / e ⁴ = 0

Så Dm = ] e ^{-  4} , ≈ [ 

Jeg håber at mit forsøg på bestemme definitionsmængden er foretaget korrekt.

På forhånd tak

Nej, definitionsmængden er også  0 < x ≤ ¹/_e⁴
Her forløber kurven meget stejlt aftagende og med ekstremum i x = ¹/_e⁴
hvorefter kurven er voksende.

Tak for svaret

Til Svar # 8, SuneChr

I facitlisten er definitionsmængden:

Dm = ] e^-4 , ∞ [

Når min måde at bestemme definitionsmængden ikke er rigtig så er mit spørgsmål,  hvordan bestemmer man ved beregning defitionsmængden ? 

PÅ forhånd tak

Det sker undertiden, at facitlisten ikke er korrekt, og det må være sket her.
Se på
y = (4 + ln x)²
ln x er defineret for alle positive x, det samme må gælde kvadratet på parentesen.
Kurvestykket i intervallet 0 < x ≤ ¹/_e⁴  hvor ¹/_e⁴  = 0,0183... ligger så "tæt på" y-aksen, at
man forledes til at tro, at der ikke er en kurve der, men det er der.
Det interessante punkt x = ¹/_e⁴  sætter nedre grænse for værdimængden når y = 0.

Tag det store forstørrelsesglas frem og betragt kurven i sin helhed:

En årsag til, at facitlisten siger det, den siger er, at i den oprindelige differentialligning
vil ^dy/_dx ≥ 0 for x > 0 , hvad x også er defineret som i løsningen.
Funktionen vil da være voksende for x > ¹/_{e⁴  ,}  og vi må derfor forkaste definitionsintervallet
0 < x < ¹/_e⁴ .
Jeg vil ikke udelukke, at det skulle være tilfældet, og at facitlisten er korrekt, men x = ¹/_e⁴  skal
med i definitionsmængden.
Tal med læreren om opgavens endelige løsning.
Problemet er, at i differentialligningen skal x ≠ 0 men i løsningen x > 0 . 

Lad os se på

   ∧  x ≠ 0  ∧  y ≥ 0           her kan kurven være aftagende, med ekstremum og være voksende.

Ser vi endvidere på

   ∧  y(1) = 16    ⇔   y = (4 + ln x)²  her må x > 0 og ikke x < 0 som i differentialligningen.
Samlet set, er det den oprindelige differentialligning, som sætter dagsordenen, så vi må derfor sige, at
definitionsmængden er    ¹/_e⁴ ≤ x <

Tak for svaret 

Jeg ser nærmere på det.

Ja, - du må have mig lidt undskyldt. Opgaven, i sig selv, har vist sig at give nogle udfordringer m.h.t.
en acceptabel løsning. Jeg vil ikke, for nuværende, lægge mig stålfast på den ene eller den anden
løsning m.h.t. definitionsmængden. Jeg kan på den ene side se, at den oprindelige differential-
ligning kun kan antage ikke-negative værdier, når x > 0 , og det må så betyde, at funktionen er stadig
voksende og skulle så også være det i det smalle interval  0 < x < ¹/e⁴ ,  hvilket ikke stemmer med
løsningen  y = (4 + ln x)² .  Men tal med din lærer og fremsig nogle gode argumenter.

Tak for svaret

Til Svar #10, #11, #12, #13 og #15 SuneChr

Jeg kommer tilbage når jeg har set nærmere på dine svar, Hvor jeg mener at dit svar #11 med tegningen af grafen for funktionen y = ( ln ( x ) + 4 )² eller y = (4 + ln ( x ) )² er forkert. Jeg vil ud fra tabellen i TI - 89 Titanium vise den tabel den andvender til at tegne den graf den viser, som ser anderledes ud end din graf og jeg håber den tegning kan vedlægges som vedhæftede fil, ellers skriver jeg den i mit svar.

På forhånd tak 

Til Svar #15 SuneChr

Det kan ikke lade sig at gøre at vedhæfte filen med tabellen og skitsen.

Istedet for dette

 Y₁ = (ln ( x ) + 4 )²        Y ₂ = 8 • x + 8     

Tabellen er fra TI-89 Titanium (funktionsværdier)

x               y ₁          y₂
0,000      underf    8,000
1,000     16,000    16,000
2,000     22,026    24,000
3,000     25,996    32,000
4,000     29,012    40,000
5,000     31,466    48,000
6,000      33,544   56,000

y ₂ = 8 • x + 8  er ligningen for tangenten i P ( 1, 16 ) som er tangent til ligningen med forskriften  

y₁ = (ln ( x ) + 4 )² 

Jeg kan ikke vedhæfte en fil med skitsen af grafen for y₁ = (ln ( x ) + 4 )² , men fortalt i ord, for x = 1 er den kraftig voksende og af flere værdier af x vokser den stadig, men stigningen fortsætter, men ikke så kraftig.

Grafen for ligningen y₁ = (ln ( x ) + 4 )²  ligner på ingen måde den graf der er vist i Svar #11.

En anden ting er, at der noget der virker underligt:

dy /dx = ( 2 • √y ) / x                  , foretager separation

1                  1

---- dy    =    ----- dx

2√x                x   

      1                       1    

∫ -------- dy   =    ∫ ----- dx  

    2√x                    x

I matematisk formelsamling fra 1998 side 31 og side 32

        funktion       afledet funktion         funktion    stamfunktion

           f(x)                   f ' ( x )                  f ( x )          ∫ f ( x ) dx

(158)    √x                1/ (2 √x)                 1 / x            ln | x |

så det ser ud som to forskellige differentialkvotiontenter og to forskellige stamfunktionener

der er i udtrykket: 

  1                    1    

∫  ---- dy   =    ∫ ----- dx  + c

    2√x                x

√x           =      ln | x | + c

Men forfatterne til Vejen til Matematik A2 må vel vide hvad de gør.

Jeg synes at man blander to forskellige differentialkvotienter og stamfunktioner sammen.

Det vil være en god ide f.eks hvis ringstedLC måske havde tid til at se på opgaven og vise sin løsning på opgave 311 spørgsmål a  og b.

På forhånd tak

             ⇔               

For       gælder               
For y(1) = 16                          gælder                c₂ - c₁ = - 4  ∨   c₂ - c₁ = 4
Endvidere:
ln |x| - 4 ≥ 0      ⇔    x ≤ - e⁴  ∨  x ≥ e⁴      og
ln |x| + 4 ≥ 0      ⇔   x ≤ - e^{- 4} ∨  x ≥ e^{- 4}  

Angående kurvers udseende: En kurve kan se forskellig ud i forskellige koordinatsystemer.
Den vedhæftede kurve # 11 har akseenheder i forholdet ca. 1 : 95 ,
som gør det muligt at anskueliggøre kurven i et meget smalt interval, da kurven ellers ville ses som sammenfaldende med y-aksen.

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på det.

På forhånd tak