Matematik

Opgave 312, Differentialligning Definitionsmængde Side 245, Vejen til Matematik A2 (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

13. januar kl. 17:20 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 312

Der er givet følgende differentilaligning:

dy/dx = ( x - 4 ) / y y > 0

Om en løsning til ligningen oplyses, at dens graf går gennem punktet P ( 0 , 2 )

a. Bestem en lignng for tangenten i P

Mit forsøg:

dy/dx = ( 0 - 4 ) / 2 = -2

y - y₁ = a ( x - x₁ ) Jeg indsætter x = 0 og y = 2

y - 2 = -2 ( x - 0)

y = -2x + 2

Det samme som facitlisten - se vedhæftede fil

b) Bestem en forskrift og definitionsmængde

Mit forsøg:

Mit problem med denne opgave er at bestemme definitionsmængde.

dy/dx = ( x - 4 ) / y Jeg foretager separation

y dy = ( x - 4 ) dx

Jeg integrerer

∫ y dy = ∫ ( x - 4 ) dx + c

( 1 / 2 ) y² = x² - 4x + c

y² = 2x² - 8x + 2 • c

√(y)² = √( x² - 8x + 2 • c )

Bestemmer tallet c og Indsætter P ( 0 , 2)

y = √( x² - 8x + 2 • c )

2 = √(2 • 0² - 8 •0 + 2 • c )

2 = √( 0 - 0 + 2 • c )

2 = √( 2c )

2 ² = (√ 2c )²

4 = 2c

c = 2 indsætter c = 2

y = √( x²- 8x + 2 • c )

y = √( x² - 8x + 2 • 2)

y = ( x² - 8x + 4 )^{1 / 2}

Det samme som facitlisten - se vedhæftede fil.

Bestem definitionsmængde.

Jeg ved ikke hvordan man skal bestemme eller beregne definitionsmængde.

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer eller beregner man definitionsmængde ?

På for hånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 312.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. januar kl. 17:42 af ringstedLC

$\begin{align*} y=\bigl(x^2-8x+4\bigr)^{\frac1 2}=\sqrt{x^2-8x+4}\Rightarrow x^2-8x+4&\geq 0 \\ x\leq ... &\vee x\geq... \end{align*}$

Svar #2
13. januar kl. 19:33 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Svar #3
14. januar kl. 10:18 af ca10

y = ( x² -8x + 4) ^{1 / 2} = √ ( x² -8x + 4) ⇒ x² - 8x + 4 ≥ 0 , og x ≤ ... x ≥ 0

Man skal først bestemme for hvilke værdier af x er y = x² - 8x + 4 = 0.

Jeg anvender (Matematisk formelsamling fra 1998 , side 13 , nr ( 58)

d = b² - 4ac = ( -8 )²- 4 •1 • 4 = 48

s₁ = (( - b - √d) / 2a , 0 ) = (- (-8) - √ 48) / 2 = 0,5358 = 0,536

s₂ = (( - b + √d) / 2a , 0 ) = (- (-8) - √ 48) / 2 = 7,464

Jeg har støttepunktskema og anvender blandt andet tabellen i TI - 89 Titanium

x | ( - 3 ) (-2) (-1) (0) ( 0,536 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 7,464) ( 8 ) ( 9 )

---------------|-----------------|------------|-----------|-------------|------------|---------|----------|-----------|---------|---------|-------

y | (6,0820 ) ( 4,8902) ( 3,6056 ) ( 2) ( 0 ) underf underf underf 0 (2) ( 3,6056)

så jeg opstiller dette skema:

x 0,536 7,464

--------------------------|------------------------|----------------------->

y - 0 underf 0 +

Så på baggrund af støttepunktskema så kommer jeg frem til at definitionsmængde:

Dm (y) = ] - ≈ , 0,536 ] ∪ [ 7,464, ∞ [ , hvor symbolet ∪ betyder foreningsmængde.

Svar #4
14. januar kl. 20:52 af ca10

Tak for Svar # 1 ringstedLc

MIt spørgsmål er, er min metode til at bestemme definitionsmængde på udført korrekt ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #5
14. januar kl. 22:35 af ringstedLC

Du gør i mine øjne for meget ud af det.

$\begin{align*} x^2-8x+4&\geq 0 \\ x\leq \frac{-(-8)-\sqrt{48}}{2}\quad &\vee \quad x\geq \frac{-(-8)+\sqrt{48}}{2} \\ x\leq 4-\sqrt{12}\quad &\vee\quad x\geq 4+\sqrt{12} \\ \textup{Dm}(y) &=\Bigl\{x\in \mathbb{R}\,\bigl |x\leq 4-\sqrt{12}\;\vee\; x\geq 4+\sqrt{12}\,\Bigr\} \end{align*}$

og bør skrive resultater i eksakte værdier.

Bemærk iøvrigt: Mængder angives oftest i {... , ...}, mens intervaller kan angives i [... ; ...]

Svar #6
15. januar kl. 08:25 af ca10

Til Svar # 5 ringstedLC

Tak for svaret

Det har jeg noteret.

Skriv et svar til: Opgave 312, Differentialligning Definitionsmængde Side 245, Vejen til Matematik A2 (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.