potensrækker

For at gøre det lidt lettere at skrive i dette format, lad os inføre en notation

S(n=0,∝,a_n) = ∑^∝_n=0 a_n .

Brug potensrækken for f(z) = S(n=0,∝,(2n+1)zⁿ) til at finde potensrækken for g(z):

g(z) = f(z) - zf(z) = S(n=0,∝,(2n+1)zⁿ) - z·S(n=0,∝,(2n+1)zⁿ)

     = S(n=0,∝,(2n+1)zⁿ) - S(n=0,∝,(2n+1)zⁿ⁺¹)

    = 1 + S(n=1,∝,(2n+1)zⁿ) - S(n=1,∝,(2n-1)zⁿ)

    = 1 + S(n=1,∝,(2n+1 -(2n-1))zⁿ)

    = 1 + S(n=1,∝,2zⁿ)

    = 1 +2·S(n=1,∝,zⁿ)

    = 1 + 2(1/(1-z) - 1)

    = 2/(1-z) - 1 = (2-1+z)/(1-z) = (1+z)/(1-z),

så f(z) - zf(z) = (1+z)/(1-z) , altså f(z)·(1-z) = (1+z)/(1-z) . Løs for f(z).