Matematik
f'x = ??
et polynomium har nulpunkter
der gælder
f(a) = 0 hvis a er et nulpunkt
antag at a har orden n
Vis da at f(a) = f'(a) = ... f^(n-1) (a) = 0 og f^(n) (a) er forskellig fra 0
PÅ FORHÅND TAK
Svar #1
11. april 2011 af peter lind
f(x) = p(x)(x-a)n. Brug reglen for differentiation af et produkt + induktion.
Svar #2
11. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
Polynomiet har formen
f(x) = (x-a)n·p(x) ,
hvor p(x) er et polynomium med p(a) ≠ 0 . Da har vi
f'(x) = n·(x-a)n-1·p(x) + (x-a)n·p'(x) = (x-a)n-1·(np(x) + (x-a)·p'(x))
f''(x) = (n-1)(x-a)n-2·(np(x) + (x-a)·p'(x)) + (x-a)n-1·(np'(x) + p'(x) + (x-a)·p''(x))
= (x-a)n-2·((n-1)np(x) + (n-1)(x-a)p'(x) + (n+1)(x-a)p'(x) + (x-a)2·p''(x))
= (x-a)n-2·(n(n-1)p(x) + 2n(x-a)p'(x) + (x-a)2·p''(x))
Det ses, at f'(a) = 0 og f''(a) = 0
Prøv at fortsætte.
Svar #3
11. april 2011 af Quantum (Slettet)
Det er jeg med på. Induktionsstarten er løst
Er det mon vanskeligt at lave selve beviset for n+1?
Svar #4
11. april 2011 af Fænomenet (Slettet)
#0 Det kommer an på, hvad du ved i forvejen? Hvad må vi bruge og hvilke funktioner arbejder vi med?
#4 Hvorfor antage p(a) ≠0?
Svar #5
11. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
#4
Fordi det var givet, at a er et nulpunkt for f(x) af orden n . Hvis p(a) = 0, er ordenen af a som rod i f(x) jo større end n.
Det er givet, at f(x) er et polynomium, jvf. teksten i #0 .
Svar #7
11. april 2011 af Andersen11 (Slettet)
#6
Det er givet, at ordenen af a som rod i f(x) er n. Derfor har f(x) formen f(x) = (x-a)n·p(x) , hvor p(x) er et polynomium med p(a) ≠ 0 . Hvis p(a) = 0, er ordenen af a som rod i f(x) jo større end n.
Svar #8
11. april 2011 af peter lind
#3 f(x) = p(x)*(x-a)n+1 = p(x)*(x-a)n*(x-a) = g(x)*(x-a) Ifølge induktionsforudsætningen holder den for g(x). Differentier nu funktionen
Skriv et svar til: f'x = ??
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.