y'

Nej den går ikke. Løsningen er jo ikke en lineær funktion.

Da k er konstant, er k' =0. Så kan du skrive

(y + k)' = y + k

så y + k  er en eksponentialfunktion, som jo har en vandret assymptote. Men den skal såmænd nok ligge i -2 :-)

du kan seperere variablerne:

1/(y+k) dy = dx

ln|y+k| = x + c

y = Ce^x + k

k = -2 , fordi Ce^x  har en vandret asymptote y = 0 , ved at forskyde grafen to ned forskydes asymptoten også.

Hvis løsningskurven til differential-ligningen har vandret assymptote i y = -2

så antager jeg at løsningen til differential-ligninng

begyndelsesbetingelsen y(0) = -2

Med det kan vi løse ligningen

Vi integrerer så på begge sider

hvilket giver ligningen ved at tage exp på begge sider

Ved at indsætte begyndelsesbetingelsen fåes

k = 3

hvilket giver løsningen

dette er en løsning til diff-ligningen

idet

Det ses at vi at tegne y(x) at denne har vandret assymptote i y = -2.

#3

Funktionen e^x har x-aksen, altså linien y = 0 , som vandret asymptote, idet e^x → 0 for x → -∝ . Derfor har funktionen e^x -k linien y = -k som vandret asymptote. Den søgte værdi for k , der giver linien y = -2 som vandret asymptote, er derfor k = 2 .

#3 -

forstår ikke dit argument for y(0) = -2

Ce^x  har vel en vandret asymptote ved y = 0  fordi:

Ce^x --> 0 for x --> -∞

dermed må

Ce^x -2 ---> -2  for  x--> -∞

Se tegning, hvor jeg har tegnet din funktion  f(x) = e^x -3  , og linjen  y = -2  , det ses TYDELIGT, at der ikke er en vandret asymptote ved -2, for din funktion.

Jeg ved ikke hvad jeg tænkte det .......God nat...Glem det...

for at smøre salt i såret glemmer du også integrationskonstanten da du løste differentialligningen =) hehe men vi er her jo for at lære ;-)  .. ikke at den spiller nogen rolle for bestemmelsen af k, men stadig xD

Jeg laver iøvrigt selv en fortegnsfejl i #2 ... beklager.

Har været vågen siden kl. 5 imorgen. Men ja men blev færdig i 2009 selv, men man glemmer hurtigt...

Jeg retter lige nr #1:

For ikke at forveksle funktionen med en y-koordinat, vil jeg kalde unktionen f(x).

Da k er konstant, er k' =0.

Så er  (f(x) + k)' = f '(x) + k' = f '(x) + 0 = f '(x). dvs f '(x) = (f(x) + k)'. 

Så er ligningen:

(f(x) + k)' = f(x) + k

Her er løsningen, at  f(x) + k er en eksponentialfunktion, som jo har en vandret assymptote  y = 0.

Dvs. f(x) + k → 0 for x → -∞

og f(x) → -k for x → -∞

Hvis grænseværdien skal være -2, er -k = -2 og k = 2. I overenstemmelse med #4 :-)