Bevis: Integralregningens hovedsætning

Jeg skal bevise integralregningens hovedsætning. 

Når jeg læser om det, er der nogle forskelle mellem de forskellige kilder ift., hvordan de beviser det og hvordan den sætning de beviser lyder. 

Min lærer har linket følgende video: https://www.youtube.com/watch?v=eOQguKs8EQc 

Læren på videoen har opdelt beviset i to dele.  

Men jeg synes ikke det er helt klart (for mig), hvilken sætning vi vil bevise og hvad resultaterne betyder. 

Kan I formulere to sætninger ud fra de to dele af beviset (og / eller en samlet sætning), samt resultaterne fra disse sætninger?

Hvad er det “nye” man har bevist. Fordi det lyder til, at det “nye” er, at man har vist sammenhængen mellem integralregning og arealer.

Men er det ikke noget, der allerede indgår i definitionen af det bestemte integral?

Med andre ord, inden beviset, ved man så, at det bestemte integral er knyttet til arealer - eller er det det nye, som vi har vist?

Som jeg forstår det (ud fra forskellige kilder), ved at indføre en arealfunktion A(x), og vise at det er en stamfunktion til f(x), så har vi knyttet arealer (arealfunktion) og integralregning (stamfunktion). 

I anden del, kan man med udgangspunkt i resultatet fra del 1 vise, at arealet fra a til b svarer til det bestemte integral fra a til b. Resultatet herfra er igen, at arealer (med udgangspunktet i arealfunktionen fra det tidligere resultat) og integralregning (det bestemte integral) er knyttet til hinanden, men også indenfor integralregning, at stamfunktioner og det bestemte integral er forbundet. 

Desuden anvendes tretrinsreglen i den første del af beviset, viser det sammenhængen mellem differentialregning og integralregning (jeg har set en kilde nævne det)?

Det korte af det lange, hvordan skal jeg forstå resultaterne fra beviset, og hvad er det vi faktisk beviser?