Opklarende spørgsmål

En ellipse med centrum i (0,0) og halve storakser a og b, hvor akserne er parallelle med koordinatsystemets akser, har ligningen

(x/a)² + (y/b)² = 1

Hvis vi nu roterer den vinklen θ omkring begyndelsespunktet (0,0), svarer det til, at vi indfører nye koordinater (u,v) ved rotationstransformationen

x = u·cos(θ) + v·sin(θ)
y = -u·sin(θ) + v·cos(θ) ,

så vi får

(u²cos(θ)² + v²sin(θ)² + 2uvcos(θ)sin(θ))/a² + (u²sin(θ)² + v²cos(θ)² -2uvcos(θ)sin(θ))/b² = 1 , dvs

(cos(θ)²/a² + sin(θ)²/b²)u² + (sin(θ)²/a² + cos(θ)²/b²)v² + 2cos(θ)sin(θ)(1/a² - 1/b²)uv = 1

Sammenligner vi nu ligningen

σ_a² - σ_aσ_b + σ_b² = σ_Y²

med den roterede ellipse, ser vi, at vi kan lave korrespondencen

u = σ_a , v = σ_b og

(cos(θ)²/a² + sin(θ)²/b²) = 1/σ_Y²

(sin(θ)²/a² + cos(θ)²/b²) = 1/σ_Y²

2cos(θ)sin(θ)(1/a² - 1/b²) = -1/σ_Y²

Heraf følger, at cos(2θ) = 0, dvs θ = π/4 , og endvidere, at

(1 - (b/a)²) / (1 + (b/a)²) = 1/2 , så (b/a) = 1/√3 , og endelig a = (√2)·σ_Y

2) Husk, at σ_a og σ_b betegner koordinat-variablene, så det skal læses som, at punktet B har koordinaterne (σ_a,σ_b) = (-σ_Y,-σ_Y)

sikke en langudregning!

#2

Det kan jo gøres kortere, hvis man antager at diverse ting allerede er kendt. Men da trådstarter virker uforstående over for, hvorfor det givne udtryk kan være en ellipse, syntes jeg, at det var relevant at inddrage ligningen for en roteret ellipse.

#1

1) Hvad er det helt præcist du laver efter du skriver: "...u = σ_a , v = σ_b og..."

2) Hvad med punkterne C og D? Hvordan læses de så?

#4

1) Jeg sammenligner ligningen

σ_a² - σ_aσ_b + σ_b² = σ_Y²

med ligningen

(cos(θ)²/a² + sin(θ)²/b²)u² + (sin(θ)²/a² + cos(θ)²/b²)v² + 2cos(θ)sin(θ)(1/a² - 1/b²)uv = 1

2) Der stå jo tydeligt, at for C er σ_a = -σ_b = -σ_Y/√3 , så C har jo koordinaterne (σ_a,σ_b) = (-σ_Y/√3,σ_Y/√3) . Tænk på, at σ_Y er en positiv konstant, mens (σ_a,σ_b) er punktets koordinater. Tilsvarende er koordinaterne for D minus koordinaterne for C, altså for D er (σ_a,σ_b) = (σ_Y/√3,-σ_Y√3)

#5

F.eks. her har du taget det første led i ligningen for den roterede ellipse, men hvordan kan u blive væk, og hvorfor giver det lig 1/σ_Y²?

(cos(θ)²/a² + sin(θ)²/b²) = 1/σ_Y²

#6

Jeg skriver i #1, at vi laver korrespondencen

u = σ_a , v = σ_b ,

hvorfor ligningen

σ_a² - σ_aσ_b + σ_b² = σ_Y²

da skal læses

u² -uv +v² = σ_Y² , eller

(1/σ_Y²)u² -(1/σ_Y²)uv + (1/σ_Y²)v² = 1

der så sammenholdes med ligningen for den roterede ellipse. Af korrespondencen mellem de tre koefficienter aflæses så de tre ligninger.

#7

Ah, ja. Nu kan jeg følge din tankegang. :)

Til sidst laver du følgende nummer:

"[...] Heraf følger, at cos(2θ) = 0, dvs θ = π/4 , og endvidere, at

(1 - (b/a)²) / (1 + (b/a)²) = 1/2 , så (b/a) = 1/√3 , og endelig a = (√2)·σ_Y [...]"

Hvad er det man kan konkludere ud fra det, og hvad er det egentlig du laver der?

#7

Jeg har fundet halvakserne a og b og ellipsens rotationsvinkel θ for ellipsen

u² -uv + v² = σ_Y²

udtrykt ved σ_Y .

#9

Hvorfor er det lige akkurat cos(2θ), der skal give nul for at finde rotationsaksen, og hvor kommer denne idé fra? Til sidst skriver du så: (1 - (b/a)²) / (1 + (b/a)²) = 1/2. Hvor har du det her fra?

#10

Fordi der indgår cos(θ)² - sin(θ)² = cos(2θ) og 2sin(θ)cos(θ) = sin(2θ) i ligningerne, når man kombinerer dem sammen på passende måde.

Ser man på de to ligninger

(cos(θ)²/a² + sin(θ)²/b²) = 1/σ_Y²

(sin(θ)²/a² + cos(θ)²/b²) = 1/σ_Y²

får man ved at trække de to ligninger fra hinanden

(cos(θ)² - sin(θ)²)/a² -(cos(θ)² - sin(θ)²)/b² = 0 , eller

cos(2θ)·(1/a² - 1/b²) = 0

Det følger af en af de andre ligninger, at 1/a² - 1/b² ≠ 0 , hvorfor cos(2θ) = 0 .

Heraf følger, at θ = π/4, og dermed  sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) = 1 , så vi får af de tre ligninger

(1/a² + 1/b²) = 2/σ_Y² og

(1/a² - 1/b²) = -1/σ_Y² .

Heraf fås

(a² + b²)/(a² - b²) = 2 , eller

(1 + (b/a)²) / (1 - (b/a)²) = 2 , hvoraf

(b/a)² = 1/3

#11

Tak for din gode forklaring.

#12

Velbekomme da.

Og Quantum beklagede endda i #2, at forklaringen i #1 var for lang :-)