Funktionsfølger

 Står der noget i opgaven om hvilken norm der skal bruges? Jeg gætter på at det er supremumsnormen, men kan ikke lige få et fornuftigt resultat...

 Nej det står der ikke noget om

Ok jeg fik hvis rodet lidt rundt i nogle begreber :) I min bog står der at en funktionsfølge {f_n} konvergerer punktvis til en funktion f, hvis der for ethvert reelt tal x og ε>0 eksisterer et naturligt tal N, sådan at

| f(x) - f_n(x) | < ε for alle k>N

Du skal altså forestille dig at jeg kommer med et x og et ε, og så skal du fortælle hvordan du vil vælge N, så ovenstående gælder.

Hvis jeg har forstået opgaven rigtigt, konvergerer {f_n}, netop mod den funktion f, du får opgivet i opgaven...

 En lille rettelse... der skulle stå

"... for alle n>N"

  Altså definationen på punktivs konvergens er :

La {fn} være en følge af funktioner defineret på en mængde A, og lad f være en funktion som også er defineret på A. Vi ser at {fn} konvergerer punktvis mod f på A dersom 

                                                                             lim _n→∞ f_n(x)=f(x) 

                                              For alle x i A

er det ikke det jeg skal bruge?

 Jo men det er også præcis det samme som jeg skrev i #3.

Jeg er stadig lost, kan du ikke fortælle det på børnesprog, hvad jeg skal gøre :).. 

 Jeg kan prøve :) Du skal forestille dig at dig og en kammerat leger en (meget nørdet) leg. Din kammerat vælger et reelt tal x og et reelt tal ε>0. Din kammerat prøver at gøre det svært for dig så han vælger et meget lille ε. Du skal nu fortælle hvordan du vil vælge et naturligt tal N, sådan at der gælder at

| f(x) - f_n(x) | < ε for alle n>N

x er altså et fast tal, men du kender ikke dets værdi. Det der varierer er n, der kan være et hvilket som helst naturligt tal, større end N.

|| f_n-0||=∫|f_n| dm= 1   For alle n. Noget i den retning måske :D

 Jeg skal altså se først på f(x+n^-1) n∈N der er konvergent for alle |x|<1 og divergent for alle |x|≥1. for |x|<1 vil følgen gå mod nul, hvilket betyder at følgen (fn)  n∈N også vil gå mod nul ifølge grænseværdigregnereglerne... 

lim x+n-1=0 ⇒ lim  osv

 Som jeg skrev i #8, skal du finde en regel for hvordan du vælger N, når du får givet et x og et ε>0. Måske hjælper det hvis jeg viser et eksempel på en regel, som ikke virker. Lad os sige at jeg synes jeg har fundet en god regel. Min påstand er at hvis du giver mig et x og et ε, så vælger jeg N=10*|x|, og så vil der gælder at

| f(x) - f_n(x) | < ε for alle n>N

Lad os nu sige at en kammerat giver mig

x = -0.1   og   ε = 0.5

Ifølge min regel bliver N = 10*|-0.1| = 1. Jeg påstår altså at

| f(-0.1) - f_n(-0.1) | < 0.5 for alle n > 1

Og da f(-0.1)=1 og f_n(-0.1)=f(-0.1+1/n) er det det samme som

| 1 - f(-0.1 + 1/n) | < 0.5 for alle n > 1

Hvordan går det for forskellige værdier af n>1? For n=2 fås

| 1 - f(-0.1 + 0.5) | = | 1 - 1 | = 0 < 0.5

Så den er god nok. Men hvad med n=10?

| 1 - f(-0.1 + 0.1) | = | 1 - 0 | = 1

Og da 1 ikke er mindre end 0.5 går det altså galt for n=10. Konklusionen er altså at min regel om at vælge N=10*|x|, ikke fungerede. Opgaven går ud på at finde en regel for hvordan N skal vælges.

 Det passer ikke, for den sætning i begge bruger er kun til kontinuerte funktioer og det du har her er ihvert fald ikke kontinuert

 Mener du sætningen om punktvis konvergens af funktionsfølgen? I min bog står der ikke noget om at f skal være kontinuert. Det ville også passe dårligt med opgave b). Der bliver man bedt om at vise at hvis f er kontinuert, så er følgen {f_n} punktvis konvergent. Det lugter lidt af at følgen også godt kan være punktvis konvergent når f ikke er kontinuert

 hej Anders

De skal være defineret på den samme mængde D. Og det er de ikke her. For fn er defineret på hele R hvor fx er en gaffel funktion. Prøv at sætte værdier ind. 

Hvis du sætter 5 i din fn, så giver det 5. Men i din hvis du sætter 5 i din fx burde give 1 ifølge gaffelfunktionen

 Jeg er ikke sikker på at jeg helt forstår hvad du mener. Både f og f_n er defineret på hele R. Hvis jeg sætter x=5 ind i f og f_n får jeg

Det sidste resultat får jeg fordi

 kan vi blive enige om at dette ikke gælder her:

x+(1/n) går mod x

når

f(x+(1/n) går mod f(x)

?

 Jeg er ikke helt sikker på hvad du spørger om? Vil du vise at f ikke er kontinuert? For det er vi enige om at f ikke er, da f er diskontinuert i punktet x=0

 unskyld, jeg troede du brugte def på kontinuitet til at vise f er punktvis konvergent..

 Ahh... så forstår jeg forvirringen :)

Går den ikke mod den konstante grænsefunktione f(x)=1?