Bevis for rødder.

Bevis, at 2.-gradsligningen ax² + bx + c = 0 har rødderne x = (-b ± √d) / (2a) , hvis d = b² -4ac ≥ 0 , og at der ikke er nogen rødder, hvis d < 0 . Hvis d = 0 falder de to rødder sammen til een rod.

Det er lidt svært at besvare dit spørgsmål, idet man ikke kan "bevise rødder".

Det er der simpelthen ikke noget, der hedder.

Man kan bevise en påstand eller en regel - men altså ikke rødder ;-)

  #1

Okay, hvis jeg skal bevise ax^2+bx+x=0 har rødderne x = (-b ± √d) / (2a) , hvis d = b2 -4ac ≥ 0.
Jeg er igang med det bevis, hvorfra jeg tror jeg skal udlede formlerne. 
Så gør jeg følgende:

Jeg viser først at f(x)=0 <--> (2ax+b)^2=d
jeg tager udgangspunkt i (2ax+b)^2=d
Og bruger første kvadratsætning til at ophæve parantesen.
(2ax+b)*((2ax+b)
=4a^2*x^2+2axb+b^2+2axb=d
=4a^2*x^2+4abx+b^2=d
Istedet for d kan jeg skrive b^2-4ac.
4a^2*x^2+4abx+b^2=b^2-4ac
Jeg trækker udtrykket for d, fra på begge sider, for at få 0 på højre side af "lighedstegnet".
4a^2*x^2+4abx+b^2-b^2+4ac=0      * jeg skifter fortegn for b^2-4ac således at det bliver b^2+4ac, når dette trækkes over på venstre side. Og jeg reducerer.
4a^2*x^2+4abx+4ac=0
Kigger jeg på dette udtryk, og sammenligner med f(x)=0. Hvor f(x) er det samme som ax^2+bx+c.
Kan jeg se at forskellen imellem 4a^2*x^2+4abx+4ac. og ax^2+bx+c.
Består i enten at dividere eller gange med 4a. Derfor er de 2 udtryk ens.
Det vil sige at ligningen (2ax+b)^2=d er det samme som f(x)=0.
Men hvordan kommer jeg så videre? 

#2 Det var således min lærer havde defineret det i sine udleverede forslag til dispositioner :(
Så det jeg skal bevise er altså formlerne til at finde rødderne?

www.frividen.dk

klik matematik

klik andengradspolynomiet

Der er to videoer om dit problem ;-)

Kender et der er meget sejere.

Men hende der med det krøllede hår inde på frividen.dk hun er bare en babe :)

du har polynomiet

f(x) = ax^2 + bx + c, det har rødder hvis f(x) = 0.

Derfor kan man sige

ax^2 + bx  = -c

du divider med a på begge sider.

x^2 + b/a *x = - c/a

ligger (b/2a^2 til på begge sider.

x^2 + b/a*x + (b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2

det er så det samme som at skrive

(x+b/2a)*(x+b/2a) = -c/a + (b/2a)^2

som ingen er det samme osm

(x+b/2a)^2 = -c/a + b^2/4a^2

du laver så højre side om til 4a^2 dele

(x+b/2a)^2 = -4ac/4a ^2+ b^2/4a^2
 

Der så er det samme som

(x+b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2
 

tager kvadrat roden på begge sider

x+b/2a = +- sqrt(b^2-4ac)/2a

du flytter så b/2a over på den anden side af ligmed

x = -b/2a +- sqrt(b^2 - 4ac)/2a

der så er det samme som at skrive

x =( -b+- sqrt(b^2 - 4ac))/2a

Rødderne i 2.-gradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c er løsningerne til ligningen

f(x) = 0 , dvs

ax² + bx + c = 0 .

Vi ønsker at komplettere de to led med x på venstre side, så vi får noget, der er kvadratet på en toleddet størrelse (Ax + B) . Til det formål ganger vi først ligningen med a, idet vi forudsætter, at a ≠ 0 :

a²x² + abx + ac = 0

Nu ser vi på

(Ax + B)² = A²x² + 2ABx + B²

Sammenligner vi de to led med x i 2.-gradsligningen, ser vi, at vi kan sætte A = a, og 2AB = ab , dvs B = b/2 , hvorved vi kan skrive

(ax + (b/2))² = a²x² + abx + b²/4

Altså har vi

a²x² + abx = (ax + (b/2))² - b²/4 ,

som vi indsætter i 2.-gradsligningen:

(ax + (b/2))² - b²/4 + ac = 0 .

Vi flytter nu de to konstante led over på højre side, hvorved vi får

(ax + (b/2))² = (b² - 4ac)/4

Vi indfører nu diskriminanten d = b² -4ac , og vi ser, at hvis d ≥ 0 , kan vi skrive ligningen

(ax + (b/2))² = ((√d)/2)² , hvorved

ax + (b/2) = ±(√d)/2 , og dermed

x = (-b ± √d) / (2a)

Er der nogen der kan foklare hvad rødderne i andengrads polinomiet er? Har fået opgaven "forklar rødderne i andengradspolinomiet" og jeg står helt på bar bund..

se