Side 2 - faktorisering

okay det her begynder at blive godt pinligt.. jeg forstår godt beviset for faktorisering og jeg vil heller ikke have nogen problemer med at finde rødderne, som i dette tilfælde er -5 og 1, ved først at udregne diskriminantformlen, og derefter indsætte det i løsningsformlen for når d>0 ..
Jeg kan bare ikke forstå, hvordan i hurtigt kommer frem til at x=- 5 og x= 1 .. jeg ved ikke om det er fordi det er så lang tid siden vi har haft om det, at jeg bare ikke kan se det , men i mine noter er der ikke noget om det :(

 

 f(x) = a·(x - r₁)·(x - r₂)

... hvor r er rødderne.

jep den formel er jeg med på!

Men mit spørgsmål er, hvordan i kan se hvad rødderne er , uden at bruge diskriminantformlen eller løsningsformlen for d>0 ...

Rødder betyder skæring med x-aksen. For andengradspolynomier, altså parabler, er der max to skæringer med x-aksen. Hvis du kan opskrive en faktorisering af din andengradsligning, skal du blot kigge på, for hvilke x'er én af faktorerne giver 0. 

ÅHH jeg giver snart op..

Altså jeg er helt med på rødder og alt det .. Men jeg forstår simpelthen ikke hvordan i kommer frem til at rødder er 1 og -5 , hvorfor kunne det ikke være 4 ... hvilken metode er det i bruger, når i ikke beregner diskriminanten osv ?

 Vi aflæser hver faktor i faktoriseringen og isolerer x.

(x-5)(x+1) = 0

Hver af de to paranteser er en faktor. Sæt hver af dem lig nul

x-5 = 0

og

x+1 = 0

Isoler nu x:

x-5 = 0 <=> x = 5

x+1 = 0 <=> x = -1

Sådan. :-)

undskyld men det er altså lidt komisk at vi efter 7 timer er ved det udgangspunkt vi startede med. 

jeg håber virkelig ikke at du har siddet med dette hele dagen, du har vel forhåbentligt lavet andet også. 

#25

Man finder jo normalt rødderne ved at bruge diskriminantformlen for rødderne: x = (-b±√d) / (2a) , og når man så har fundet dem, kan man faktorisere polynomiet på formen f(x) = a·(x -r₁)·(x -r₂) . Undertiden kan man gætte sig til rødderne i polynomier med små, simple koefficienter og så hurtigt gøre prøve for at overbevise sig selv om, at rødderne er korrekte. Men som hovedregel skal man igennem diskriminantformlen.

#25 .. Jeg tror du har misforstået... Du skal tænke på, at der er angivet en andengradsfunktion, [f.eks] hvor

f(x) = x² - 4x - 5 .. eller også det samme som y = x² - 4x -5 .. Ved at løse de x-værdier, hvor grafen skærer igennem x-aksen, skal man sætte y for nul, altså y = 0.

y = x² - 4x - 5 ⇔ 0 = x² - 4x - 5     ... Dér kan du løse på 2 måder:

1. Faktorisering;

      0   = 1·(x - 5)·(x - (-1))    ... da

     f(x) = a·(x - r₁)·(x - r₂)      ... hvor r er rødderne.

     ... dvs rødderne er 5 og -1...

2. Diskriminant etc.

... hvor a = 1,  b =  -4,  c = -5    ... tal indsat;

 Så har man nu fundet, at der er 2 punkter, hvor grafen skærer igennem x-aksen, nemlig (5;0) og (-1;0) .

#29

Men det er jo lidt cirkulært, for man kan ikke faktorisere polynomiet uden først at kende rødderne. Man kommer jo ikke bare op med en faktorisering ud af den blå luft eller i et anfald af ekstraordinært klarsyn. I praksis finder man rødderne ved hjælp af diskriminantmetoden, eller ved at gætte ud fra mulige rationale rødder. Når man kender rødderne, følger faktoriseringen så som beskrevet.

Okay det der går galt for mig er når i siger

y = x2 - 4x - 5 ⇔ 0 = x2 - 4x - 5 ... Dér kan du løse på 2 måder:

1. Faktorisering;

0 = 1·(x - 5)·(x - (-1)) ... da

f(x) = a·(x - r1)·(x - r2) ... hvor r er rødderne.

... dvs rødderne er 5 og -1...

Jeg kan ikke forstå hvordan du kan se, at rødderne er -1 og 5 ud fra dette.. hvorfor er rødderne ikke -4 og -5 fx ?
 

#31

Læs #28 eller #30 .

Hm ja.. jeg kan godt udregne rødderne vha diskriminantformlen, men er det smarte faktorisering ikke, at man kan springe forbi denne del , og med det samme finde rødderne

#33

Nej, man kan ikke springe over skulle at finde rødderne. For at faktorisere polynomiet, skal man kende rødderne. Man kan finde dem enten ved diskriminantformlen eller ved at gætte (ud fra et intelligent forslag baseret på koefficienterne i polynomiet).

Hvis polynomiet er normeret (dvs. a = 1), gælder der, som bekendt, at r₁ + r₂ = -b , og r₁·r₂ = c . Hvis b og c er små simple hele tal, er det forholdvis let at opøve sine færdigheder i hurtigt at finde to tal, hvis sum er -b og hvis produkt er c .

    så som
                         x² + x - 12 = 0

                         x² + 2x - 8 = 0

                         x² - 4x - 21 = 0

hvad er resultaterne så her?

#36

Se på ligningen x² + x -12 = 0 . Her skal man tænke på to hele tal, hvis produkt er -12, og hvis sum er -1, dvs -4 og 3 , så faktoriseringen af venstresiden er (x+4)(x-3) .

I ligningen x² + 2x -8 = 0 skal man tænke på to hele tal, hvis produkt er -8 og hvis sum er -2 , dvs -4 og 2 , med faktoriseringen (x+4)(x-2) .

Prøv selv den sidste ligning x² -4x -21 = 0 . Der er jo ikke så mange kombinationer af hele tal, hvis produkt giver noget med 21 .

Tak for dit svar!

hmm , er svaret til den sidste ligning -7 og -3 ? så faktoriseringen er (x+3)(x-7) .. ?
 

Men er produktet altid c ?

   rødderne er -3 og 7

                                    x² - 4x - 21 = (x+3)(x-7) 

rodproduktet er kun lig med c;
når andengradsligninger er normeret,
dvs
   er på formen
                                  x² + bx + c = 0

#38

Når 2.-gradspolynomiet er normeret og har rødderne r₁ og r₂, kan det skrives faktoriseret på formen

f(x) = (x -r₁)·(x -r₂) = x² -(r₁+r₂)·x + r₁·r₂ = x² + bx + c med

b = -(r₁+r₂) , og c = r₁·r₂