Bevis for panserformlen

Når man vælger w(x) som man gør er det simpelthen fordi det virker.  Du kan også sætte den endelige løsning ind i differentialligningen og dermed vise at det er en løsning.

2. jeg synes det er mere nødvendigt at vise , at der ikke er andre løsninger.

jeg forstår godt at man kan gange alle led i ligningen med w(x). Men jeg forstår ikke hvorfor w(x) = e^G(x)

2 Jeg ved ikke hvordan man viser at der ikke er andre løsninger, men det er måske også forsent nu, da jeg skal op imorgen tidlig. Ikke nødvendigvis i panserformlen.

Man bruger w(x) = e^G(x) fordi man ved at det virker. Der er ikke nogen dybsindig grund til hvorfor den bruges og du vil ikke blive stillet til regnskab for det.

Ikke andre løsninger: Enhver funktion y(x) kan skrives som y = e^G(x)*f(x). sætter du det ind i ligningen får du en differentialligning som G(x) skal følge. Løsningen af den giver så G(x) på nær en konstant. Da du ikke har hørt om det vil du heller ikke kunne blive stillet til regnskab for det.

Mange tak for kompetent  vejledning.

Differentialligningens venstreside y' + gy minder lidt om resultatet af differentiationen af et produkt (f·g)' = f'·g + f·g' . Lader vi derfor w være en ukendt funktion, har vi

(w·y)' = w'·y + w·y' , og dividerer vi med w , får vi

(w·y)' / w = (w'/w)·y + y' .

Vi ser derfor, at højresiden her har samme form som differentialligningens venstreside, hvis vi sætter

w'/w = g .

Dette er en differentialligning til bestemmelse af w, der har løsningen

ln(w) = ∫g dx = G(x) + C, hvor G(x) er en stamfunktion til g(x), eller

w(x) = c·e^G(x) .

Vi kan nu skrive den oprindelige differentialligning på formen

(w·y)' = w·h , som vi kan integrere til

w·y = ∫ w(x)·h(x) dx + k' .

Idet valget af konstanten c ikke har indflydelse på løsningen, når blot c ≠ 0, får vi da

y = e^-G(x) · ∫ e^G(x)·h(x) dx + k·e^-G(x)

som den fuldstændige løsning til differentialligningen.