Vektorregning

Du har hundrede procent ret. Det er ikke nødvendig, at definere det ud fra geometri, og hvis du studerede videreudviklingen af vektorregningen, fosvinder forbindelsen til geometri også.

Hertil må lige siges at historisk er der forbindelse til geometri. Endvidere gælder at mange mennesker forstår det bedre, når det bliver koblet til geometri. Jo mere abstrakt matematik, du har, jo sværere bliver det at forså det.

Det er da helt korrekt, at man kan indføre vektorrum og operationer på vektorer i et vektorrum helt algebraisk uden henvisning til geometrien, og matricer kan indføres som et redskab i beskrivelsen af lineære afbildninger mellem vektorrum, og sådan kan man sikkert se det præsenteret i et videregående kursus på universitetsniveau.

Men i et indledende kursus på stx-niveau er det da klart en fordel, at man kan se motivationen for de forskellige definitioner og fremgangsmåder. Ellers bliver det hele jo blot en abstrakt suppe, som de færreste vil få noget ud af. Mange matematiske discipliner er jo netop oprindelig udviklet, fordi de finder anvendelse i beslægtede discipliner, som geometri eller fysik. Mange matematiske begreber forstås og indlæres meget bedre, hvis man gennem en tegning kan forestille sig, hvad der foregår, og her er det, at geometrien er et uvurderligt hjælpemiddel i forbindelse med vektorregning.

Du har helt ret i, at man sagtens kan definere vektorregning rent algebraisk; men så står man jo tilbage med spørgsmålene, hvorfor defineres det lige netop sådan, og hvad skal vi ellers bruge det til?

Man kan også definere geometri uden brug af algebraens hjælpemidler, som det blev praktiseret i antikken; men geometri og algebra supplerer hinanden så fortræffeligt, at de, specielt på et indledende kursus, går hånd i hanke med hinanden.

 Nu bliver jeg jo nysgerrig. For når du siger, at geometrien blev praktiseret uden algebraen i antikken, hvordan skal det så forstås? Ja, hvad er geometri egentlig som begreb? Og hvilket princip bag den eudklidske geometri gør, at vi kan regne med den ved brug af algebraen?

#3

I antikken havde man ikke den algebraiske notation til rådighed, som vi har i dag. Selv om man kendte til tallene, udtrykte man tal i geometrien som forhold mellem liniestykkers længder eller figurers arealer. Man målte, hvor mange gange man kunne afsætte et liniestykke ud ad et andet og fik resultatet af en division, for eksempel. Ligninger af første og anden grad kunne så løses ved hjælp af sindrige geometriske opstillinger. Efter renæssancen og den nyere tid udviklede man de matematiske notationer, som vi kender i dag, og man indså, at man kunne aritmetisere geometrien, hvorved man opnåede langt mere effektive metoder til at løse geometriske problemer.