Bevis proportional differentialligning

1           y' = k*y     (proportional)  har den fuldstændige løsning     y = c*e^kx   (eksponentiel)

bevis

dy/dx = k*y   =>     dy = k*y*dx    =>   1/y *dy = k*dx    dy/dx isoleres på begge sider af lighedstegnet.

 ∫ 1/y dy  = ∫ k dx     der sættes integraltegn op  på begge sider af lighedstegnet. Det er lovligt fordi dy/dx er sepereret.

ln y = k*x+k       der integreres på begge sider af lighedstegnet.

y = e^kx+k2      regneregel for logaritmer

y = e^kx *e^k2    regneregel for logaritmer

y= c*e^kx            e^k2 = c fordi  e^k2 er en konstant ( eulers tal der opløftes med en konstant)

dermed er postulatet bevist. Der er garanteret også andre måder beviset kan gennemføres på. Men det er den der er nemmest at forstå. Selv om dy/dx mere er et symbol (symbol for differentialkoefficienter) end en brøk er fremgangsmåden lovlig.  

 Vi har nemlig ikke lært seperation af variable.. og derfor tror jeg ikke at jeg må bruge det..

#0 Det er simpelthen fordi det virker. En eller andet smart matematiker har fundet ud af det.

 Så der ikke en decideret grund til at man ganger det på.. underligt..
så.. man har bare forsøgt med alt, og det er det som har virket..

 ok.. nu er der så noget i 2. del ikke forstår..
altså jeg har dannet en ny funktion 

h(x) = f(x) * e^-kx

og jeg ved at f(x) løser differentialligningen

jeg differentiere så h(x)

h(x) = f(x) * e^-kx => h'(x) = f'(x) *e^-kx + f(x) * (-k)e^-kx

men da jeg ved at f(x) løser differentialligningen y' = ky, kan jeg omskrive f'(x) = kf(x).. det forstår jeg ikke..

Hvorfra ved jeg at funktionen hedder f(x) = ce^kx?..
 

Det ved du heller ikke. Du skal finde f(x) så h(x) er løsning. Ud fra forudsætningen h(x) er løsning, kan du sætte dette ind i differentialligningen. Dette resultere i en ny differentialligning f'(x) = 0, som har løsningen f(x) er en konstant.