Matematik

Differentialligninger, eksamesdelspørgsmål(Lost)

17. august 2011 af LuckyLuc (Slettet) - Niveau: A-niveau

Det oplyses at mængden af olie som udvindes fra et oliefelt kan beskrives ved differentialligningen:

dM/dt=k*M(160-M), hvor t er antal år som oliefeltet har været i drift.

M(t) er den totale mængde udvundet olie(i mill. ton) frem til tiden t.

M(0)=8, k=0,0005.

Bestem M(t) og gøre rede for, og fortolk, hvad følgende grænseværdi betyder:

lim_{t → ∞} M(t).

Jeg kan ikke lige se hvad man skal gøre... Der er tale og logistiskvækst går jeg ud fra, men opgaven her er blackie for mig. Håber lige en fysik/mat expert kan hjælpe mig ud.

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. august 2011 af Studieguruen (Slettet)

dM/dt = 0,0005·M·(160 - M)

Løs differentialligningen og find konstanten c ved brug af M(0) = 8 .

For lim_t→ ∞ vil M(t) → 160 .

Brugbart svar (1)

Svar #2
17. august 2011 af mathon

du har sikkert "lært"

differentialligningen
                                          dy/dx = a·y·(M-y)                              hvor    0 < y < M
har
   løsningen
                                          y = M / (1+Ce^-aMx)                         hvor C er en integrationskonstant

heraf har du
for
dM/dt = 0,0005·M·(160-M)

M(t) = 160 / (1+C·e^-k·160·t) og M(0) = 8 = 160/(1+C·e^{-0,0005·160·0})

8 = 160/(1+C)

1+C = 160/8 = 20

C = 19

opsummeret
                                         M(t) = 160 / (1+19·e^-0,08·t)


                                         lim M(t) = 160 / (1+19·e^-0,08·t) = 160 / (1+19·e^-0,08·∞) = 160 / (1+0) = 160
                                          t-->∞

Brugbart svar (1)

Svar #3
17. august 2011 af mathon

din regnemaskine giver dig sikkert

M(t) = 160 / (1+19·e^-0,08·t) = 160 / (1+19·(e^-0,08)^t) = 160 / (1+19·0,923116^t)

Svar #4
17. august 2011 af LuckyLuc (Slettet)

Ja men, hvordan "fortolker jeg er grænseværdi lim_t→∞betyder? Altså en formel er en formel men hvordan kan man evt. forklare tingene,

Vi har ikke lært ret meget omkring emnet da det er 1 måneds turbokursus og differentialligninger er supplerende stof. Fatter ikke hvordan han har valgt 3 af vores spørgsmål til at være differentialligninger. Jeg ved ikke engang hvordan min disposition skal se du.. Nogen links eller forslag til hvad kan man fortælle om?

Brugbart svar (1)

Svar #5
17. august 2011 af mathon

...efter meget lang tids olieudvinding vil man have udvundet næsten 160 mill. ton...

                                    y = 160 er vandret asymptote
                            for
                                    M(t)

Brugbart svar (1)

Svar #6
17. august 2011 af Studieguruen (Slettet)

.. 160 mill. ton olie er den øvre grænse for udviklingen, udvindingen af olie bliver altså ikke større ..

Brugbart svar (1)

Svar #7
17. august 2011 af mathon

øv dig bl.a.
                     på løsningerne til
                                                           dy/dx = k·y

                                                           dy/dx = g(x) - f(x)·y

dy/dx = y·(b - a·y)

Svar #8
17. august 2011 af LuckyLuc (Slettet)

Tak for det drenge og piger.

Svar #9
17. august 2011 af LuckyLuc (Slettet)

I #3

hvad mener du med at min lommeregner giver dette, når dit resultat er anderledes?

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. august 2011 af Studieguruen (Slettet)

Din lommeregner giver måske en approksimativ værdi, fordi den omskriver den naturlige logaritmes grundtal:

e^-0,08·t = 0,923116^t

Skriv et svar til: Differentialligninger, eksamesdelspørgsmål(Lost)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.