ensvinklede trekanter og pythagoras

Der er en del opgaver med ensvinklede trekanter. Her benytter man, at forholdene mellem ensliggende siders længder i to ensvinklede trekanter er konstant.

Dette forudsætter ikke, at trekanterne er retvinklede, kun at de to trekanter er ensvinklede. Er trekanterne desuden retvinklede, kan dette bygges ind i opgaverne på forskellige måder.

Jeg forstår ikke, hvor du vil hen med euklidiske vektorrum i denne sammenhæng.

Jeg snakker om selve den teori, der ligger til grund for at ensvinklede trekanter har samme forhold mellem siderne..

#2

Det følger af sinusrelationerne for en trekant.

Hvis to trekanter med sidelængderne (a,b,c) og (a',b',c') er ensvinklede, gælder

sin(A)/sin(B) = a/b = a'/b' , og sin(A)/sin(C) = a/c = a'/c' , hvoraf så ses, at

a/a' = b/b' = c/c'

Præcis! Men i min matematikbog bevises sinus-relationerne i en retvinklet trekant netop udfra ensvinklede trekanter, og dette bruges igen til videre, at bevise sinus-relationerne - så endnu engang er theoremet om ensvinklede trekanter noget, som er dukket op uden begrundelse. 

#4

Sætningen stikker i virkeligheden ret dybt og rører ved grundlæggende egenskaber ved talsystemet.

Da jeg i sin tid gik i det, der svarer til 8.-9. klasse, blev sætningen kun bevist i det tilfælde, hvor forholdet mellem to ensliggende sider er rationalt. Man havde forinden udviklet lidt om ensliggende vinkler ved parallelle linier, og så viste man en hjælpesætning:

Når en række paralleller deler en vinkels ene ben i lige store stykker, vil de også dele vinklens andet ben i lige store stykker.

Med den på plads betragtede man så to ensvinklede trekanter, ABC, og DEF (med bogstaverne arrangeret i naturlig rækkefølge). Man flytter så trekant DEF, så D Falder i A, så vinkelbenet DE falder ud ad vinkelbenet AB, og så vinkelbenet DF falder ud ad vinkelbenet AC. Med mindre trekanterne er kongruente, ligger den ene trekant nu inde i den anden, og vi vil have, at BC er parallel med EF . Man antager nu, at længderne af liniestykkerne AB og DE er kommensurable, dvs. at der findes et lille liniestykke med længden μ , og hele tal p og q, således at

|AB| = pμ og |DE| = qμ .

Man afsætter nu liniestykket μ p gange ud ad liniestykket AB, og q gange ud ad liniestykket DE. Fra alle de små liniestykkers endepunkter på AB og DE trækker man linier parallelle med BC (og dermed med EF). Disse paralleller skærer vinkelbenene AC og DF i p, hhv. q lige store stykker, hvilket fremgår af den foregende hjælpesætning. Heraf ses da, at

|AB| / |DE| = p / q = |AC| / |DF| , og heraf følger så det vigtige resultat

|AB| / |AC| = |DE| / |DF| ,

dvs. at forholdet mellem ensliggende sider i ensvinklede trekanter er konstant.

På grund af de rationale tals tæthed i mængden af de reelle tal, kan man udvide beviset til også at gælde i tilfældet, hvor |AB| / |DE| ikke er rationalt.