Andengradspolynomium

c er altid skæringen med y-aksen.

Du har nu tre oplysninger hvoraf du kun behøver to.

Indsæt to af punkterne i ligningen og find a og b i to ligninger med to ubekendte.

Line

Sæt de givne punkter ind i funktionen. Det giver 3 ligninger med de 3 ubekendte a b og c, som du må løse

Løs disse 3 ligninger med 3 ubekendte:

0 = a·(-2)² + b·(-2) + c = 4a - 2b + c

0 = a·4² + b·4 + c = 16a + 4b + c

4,5 = a·1² + b·1 + c = a + b + c

Ja sådan her får du nemlig ligningssystemet 

16a + 4b + c =  0

4a  -    2b  +  c = 0 

 a +      b     + c = 4.5

Det vil med andre ord sige. 3-ligninger med 3 ubekendte og det står der en metode i den lærebog til hvordan du løser det.     

Eller benyt, at begge rødder r₁ = -2 og r₂ = 4 er oplyst, så polynomiet har formen

f(x) = a·(x - r₁)(x - r₂)

og benyt så oplysningen f(1) = 4,5 til at bestemme a.

Det du skal arbejde hen imod imod er at a = -1/2 og b = 1 og c = 4.

Jeg vil mene at det er 3-ligninger med 3-ubekendte du skal satse på her. Men det er bare min mening.

Jeg kan ikke få resultatet til at a = - 1/2 og b = 1 og c = 4 :s

Kan i hjælpe lidt mere?

Tillæg til #5

Da rødderne er kendt, har polynomiet formen

f(x) = a·(x+2)(x-4) , og da f(1) = 4,5, får vi

4,5 = 9/2 = a·(1+2)(1-4) = -9a , hvoraf ses, at a = -1/2 .

Polynomiet er da

f(x) = -(1/2)·(x+2)(x-4) = -(1/2)·(x² -2x -8) = -(1/2)x² +x +4

Tak, nu forstår jeg det :)

Den anden måde at løse det er som følger

16a + 4b + c =  0

4a  -    2b  +  c = 0

a +      b     + c = 4.5

du ser på den ligning(3)

og sætter c = 4.5 - b -a

det indsætter du ligning 2

4a - 2b + 4.5 - b -a = 0

hvillket giver

3a - 3b + 4.5 = 0

den kan du så løse mht. til a.

a = b - 1.5

dette indsætter du så i ligning (1), hvilket giver

16*(b-1.5) + 4b + 4.5 - b - (b-1.5)  =  0

med andre

16b - 24 + 4b + 4.5 - b - b + 1.5 = 18b - 18 = 0

18b - 18 = 0 -> b = 1

derefter gentager det du det for at finde c ved at indsætte b = 1 i ligning (3)

a + 1 + c = 4.5

dvs. c = 3.5 - a

Hvilket du indsætter i ligning (2)

4a  -    2b  +  3.5 -a = 0

hvilket løst mht. b giver

b = 1.5a + 1.75

ved at indsætte det i ligning (1) fåes

16a + 4(1.5a+1.75) + 3.5-a = 0

hvilket er det samme som

21.0*a+10.50 = 0

hvilket giver os værdien for a = -1/2

For at finde ligning b indsætter vi de fundne værdier for a og c i ligning(3)

-1/2 + b + 1 = 4.5

den ligning løses så mht. b hvilket giver b = 4

nu indsættes værdierne for a,b og c i ligning (2)

4*(-1/2) - 2 *1  + 4 = 0

derefter indsætter du værdierne for a,b og c i ligning (1)

16*(-1/2) + 4*1 + 4 = 0

Dermed er har du fundet løsningen til ligningssystemet hvor a = -1/2, b = 1 og c = 4