integral

Benyt substitutionen u = 1 + y² , du = 2y dy . Da fås

∫ y/(1 + y²) dy = (1/2) ∫ (1/u) du = (1/2)·ln(|u|) + k = (1/2)·ln(1 + y²) + k

Sæt          x = 1 + y²          og dermed            ½ dx = y dy

Da fås     ½ ∫ dx / x 

Var de gamle integrationsgrænser a og b,  er de nye  henh.  1 + a²  og  1 + b²

Men den korrekte matematiske formel for substitution siger jo, at:
∫f(g(x))dx = ∫f(u)h'(u)du, hvor h er den OMVENDTE funktion til u=g(x).
Så hvordan kan det være, at jeres løsning stadig bærer frugt OG endda ikke får knas med, at der er to løsninger for ligningen y^2 = c-1 for c. Kan godt være, at jeg misforstår noget essentielt, men så må I forklare mig det :)
 

#3

Integralet

∫ y/(1 + y²) dy   har formen

(1/2) ∫ f(u(y))·u'(y) dy

med f(t) = 1/t , og u(y) = 1+y² , og man får

(1/2) ∫ f(u(y))·u'(y) dy = (1/2) ∫ f(u(y))·(du/dy) dy = (1/2) ∫ f(u) du = (1/2) ∫ (1/u) du

Der er ikke i dette noget behov for at benytte den omvendte funktion til u(y) .

At det virker som ovenfor anført, kan man måske indse således. Antag, at vi kan skrive ∫ f(x) dx på formen

∫ f(x) dx = ∫ g(h(x)) · h'(x) dx ,

og vi skal vise, at det er lig (pånær en konstant) med

∫ g(u) du

med u = h(x) . Det gør vi ved at vise, at

d/dx ( ∫ g(h(x)) · h'(x) dx ) = d/dx ( ∫ g(u) du )

På venstre side får vi

d/dx ( ∫ g(h(x)) · h'(x) dx ) = g(h(x)) · h'(x) ,

og på højre side får vi, ved at se på sammensat funktion, at

d/dx ( ∫ g(u) du ) = d/du ( ∫ g(u) du ) · du/dx

                             = g(u) · du/dx

                             = g(h(x)) · h'(x)

∫y/(1+y²) dy  =  ∫y/u dy        , hvor u = 1+y²

du/dy = 2y ⇔ dy = du/2y

∫y/u dy = ∫y/u (du/2y) = (y/2y)∫1/u du = (1/2)·(ln(|u|) + K) = (1/2)·(ln(|1+y²|) + K)

#6

Numerisktegnet er af gode grunde ikke nødvendigt til sidst.

Det ser mystisk ud, hvor du flytter (y/2y) uden for integralet (og uden behørige parenteser). Det skal forkortes under integralet, og så kan konstanten flyttes ud.