Palindromer!!!!!

Et palindrom er en sætning eller et ord eller et tal, der kan læses i begge læseretninger.

fx 7887 som faktisk ER deligt med 11

du skal altså undersøge om det er korrekt, at ALLE firecifrede palindromtal er delelige med 11

modstridsbevis, måske ????

Det kan evt. løses ved induktion. Se vedhæftede fil.

Et 4-cifret palindrom må have cifferformen abba , dvs

p = a·10³ + b·10² + b·10 + a = a·1001 + b·110

   = a·91·11 + b·10·11

   = 11·(a·91 + b·10)

som jo er deleligt med 11.

tjaa. et lidt mere overskueligt svar ind mit forsøg på et induktionsbevis :-)

#2

Det bevis kan ikke bruges. Du har 2 parametre i brug, k₁ og k₂, men opererer med et P(k) uden at forklare, hvad k har med k₁ og k₂ at gøre. Endvidere antages det at gælde for k₁ ≥ 1 og k₂ ≥ 2 . Hvad er der så tilbage at vise?

Der er heller ikke den store motivering for et induktionsbevis, for der er jo kun et endeligt antal 4-cifrede palindromer.

Ok, jeg er først lige begyndt at lære at forstå induktionsbeviser, så mistede nok overblikket.

Men af ren nysgerrighed, hvordan skulle induktionsbeviset evt. så være udformet ?

Her tænker jeg på antagelsen når der er 2 parametre ?

#6

Som jeg skrev i #5, er et induktionsbevis slet ikke den rigtige form for bevis her.

Gælder det egentlig på alle endelige mængder ? altså at induktionsbevis ikke er at foretrække ?

#8

Det vil nok afhænge af den konkrete situation.

Det grundlæggende i et induktionsbevis er, at man viser, at hvis induktionsudsagnet P(n) gælder for et n, så gælder det også for n+1, altså P(n) ⇒ P(n+1) , og så viser man, at det er sandt for et bestemt n₀ ,
f.eks., n₀ = 1. Induktionsteoremet siger så, at P(n) er sandt for alle n ≥ n₀ .

#8

Vi kan udvide denne lille opgave og samtidig gøre lidt brug af induktion.

Vi vil først vise, at ethvert tal af formen

z_n = 10^2n-1 + 1 , hvor n er et helt, positivt tal, er deleligt med 11.

Vi ser først, at z₁ = 11 , som er deleligt med 11.

Antager vi nu, at z_n er deleligt med 11, har vi zn = 102n-1 + 1, og vi har

100·z_n = 10²ⁿ⁺¹ + 100 = 10²ⁿ⁺¹ + 1 + 99 = z_n+1 + 9·11 , og dermed

z_n+1 = 100·z_n - 9·11

Antager vi, at z_n er deleligt med 11, er 100·z_n også deleligt med 11, og dermed er z_n+1 deleligt med 11, hvormed induktionsbeviset er færdigt.

Ved hjælp af dette lille resultat er det ret let at se, at ethvert palindrom med et lige antal cifre er deleligt med 11.

Linien midt i #10 skal læses

"Antager vi nu, at z_n er deleligt med 11, har vi z_n = 10^2n-1 + 1, og vi har "

----------------------------------------------

De første tal af formen z_n er

11, 1001, 100001, 10000001, ...

Iam lost :/

#12

Bare hold dig til beviset i #3.